PENCINTA/PECINTA MATEMATIKA

KPM

2012-01-28T15:54:00.003+07:00

KOMPETISI PENCINTA MATEMATIKA (KPM) III

Tingkat SD / MI

se-Kalimantan Timur, 2012

Bacalah dengan seksama semua ketentuan di bawah ini. Setiap sekolah yang mendaftar dianggap telah MEMBACA, MENGETAHUI dan SEPAKAT dengan semua ketentuan yang tertera di bawah ini.

SELAYANG PANDANG

Kompetisi Pencinta Matematika (KPM) III adalah salah satu kompetisi bidang pendidikan matematika tingkat Sekolah Dasar yang digagas oleh Yayasan Cinta Matematika (YCM) Kalimantan Timur bekerja sama dengan Ikatan Alumni Pendidikan Matematika (IKADITIKA) FKIP Universitas Mulawarman. Penyelenggaraan KPM bertujuan untuk menyemarakkan kegiatan perlombaan di bidang matematika yang saat ini masih sedikit di Kalimantan Timur. Di samping itu pula dimaksudkan sebagai wadah bagi tiap sekolah dasar untuk berlatih menghadapi kompetisi-kompetisi yang lebih besar seperti Olimpiade Sains Nasional (OSN), PASIAD, dan ASTRAMATIKA.

TEMPAT DAN WAKTU PELAKSANAAN

Tempat : Hotel Grand Sawit, Ruang Palem Raja. Jl. Basuki Rahmat No. 34 A, Samarinda.

Hari/Tanggal: Minggu, 04 Maret 2012, Pukul 08.00—16.00

Rencana susunan Acara:

07.00 – 08.15 Registrasi Peserta dan Pendamping

08.15 – 08.30 Persiapan Pembukaan

08.30 – 09.30 Pembukaan

09.30 – 10.00 Istirahan (Coffe Break) dan Persiapan Tes Babak I: Bentuk Soal Isian Singkat

10.00 – 11.30 Pelaksanaan Tes Babak I

11.30 – 13.00 Istirahat, Sholat, dan Makan Siang (Lunch).

13.00 – 15.30 Pelaksanaan Tes Babak II: Bentuk Soal Pilihan Ganda

15.30 – 16.00 Persiapan Penutupan

16.00 – 16.30 Penutupan

Peraturan:

1. Peserta dianjurkan untuk menggunakan seragam khas sekolah masing-masing.

2. Peserta dan pendamping diharuskan datang pada saat registrasi untuk memperlancar jalannya administrasi perlombaan.

3. Peserta dan pendamping sudah berada di ruangan pembukaan 15 menit sebelum acara pembukaan dimulai.

4. Peserta dan pendamping diwajibkan memakai ID Card selama acara KPM dan untuk pengambilan konsumsi. Tanpa ID Card tidak berhak mengambil konsumsi yang telah disediakan panitia.

5. Peserta hanya diperbolehkan membawa alat-alat tulis seperti ballpoint, pensil, dan sebagainya. Bahan seperti kertas disediakan oleh panitia.

6. Peserta dilarang membawa alat hitung seperti kalkulator ke dalam ruang tes.

7. Peserta yang datang terlambat mengikuti tes tidak diberikan waktu tambahan.

8. Peserta diharapkan tidak membawa perhiasan/barang mewah. Resiko kehilangan ditanggung oleh peserta/pendamping sendiri.

9. Peserta tidak diperkenankan membawa alat komunikasi ke dalam ruangan tes saat tes berlangsung. Peserta diharapkan menitipkan alat komunikasi ke masing-masing pendamping. Kehilangan alat komunikasi bukan tanggung jawab panitia.

10. Peserta dilarang membawa benda-benda berbahaya ke dalam ruangan seperti senjata tajam atau bahan-bahan kimia mudah meledak.

BENTUK KOMPETISI

KPM III merupakan kompetisi mandiri dengan tes tertulis yang terdiri dari 2 babak. Babak pertama untuk tes tertulis Isian Singkat sebanyak 30 butir soal. Babak kedua untuk tes tertulis Pilihan Ganda sebanyak 30 butir soal.

Peraturan Babak I

1. Pada babak I bentuk soal Isian Singkat sebanyak 30 butir.

2. Pada tiap butir soal, jika menjawab dengan benar diberi skor 2, jika menjawab dengan salah diberi skor -0,5, sedangkan jika tidak menjawab diberi skor 0.

3. Peserta hanya perlu menjawab soal dengan menuliskan jawaban singkat sesuai dengan ketentuan yang telah diminta (seperti satuan, derajat, dsb), tanpa perlu menguraikan cara menjawabnya.

Contoh 1:

Jika luas Persegi ABCD adalah 16 cm² maka panjang AB adalah ……… cm.

Jawab: 4 (benar)

Jawab: 4 cm (benar)

Jawab: 40 mm (salah karena tidak sesuai ketentuan yang diminta)

Contoh 2:

Adi berangkat dari rumah pukul 07.00 dan tiba di sekolah pukul 07.15. Lama perjalanan Adi adalah ……… jam

Jawab: 1/4 (benar)

Jawab: 0,25 jam (benar)

Jawab: 15 menit (salah karena tidak sesuai ketentuan yang diminta)

4. Peserta dianjurkan menggunakan ballpoint untuk menjawab soal.

5. Peserta dianggap tidak menjawab soal jika jawaban tersebut dicoret/dihapus/kabur tidak jelas.

6. Peserta tidak diperkenankan bekerjasama dengan peserta lainnya. Bagi yang melanggar akan didiskualifikasi dari babak yang berlangsung.

7. Peserta dilarang menggunakan alat bantu hitung (seperti kalkulator, jam kalkulator, hp) dalam menjawab soal. Bagi yang melanggar akan didiskualifikasi dari babak yang berlangsung.

8. Peserta tidak diperkenankan membawa naskah soal ke luar ruangan selama tes berlangsung.

9. Pendamping tidak diperkenankan memasuki ruangan tes saat tes berlangsung.

Peraturan Babak 2:

1. Pada babak II bentuk soal Pilihan Ganda sebanyak 30 butir.

2. Pada tiap butir soal, jika menjawab dengan benar diberi skor 1, jika menjawab dengan salah diberi skor -0,25, sedangkan jika tidak menjawab diberi skor 0.

3. Peserta hanya perlu menjawab soal dengan memberikan tanda silang (x) pada pilihan jawaban yang dianggap benar.

Untuk merevisi jawaban, peserta dapat membubuhkan tanda “=” pada pilihan awal, kemudian memberikan tanda silang (x) atau tanda centang atau lingkaran pada pilihan jawaban yang dianggap benar.

4. Peserta dianjurkan menggunakan ballpoint untuk menjawab soal.

5. Peserta tidak diperkenankan bekerjasama dengan peserta lainnya. Bagi yang melanggar akan didiskualifikasi dari babak yang berlangsung.

6. Peserta dilarang menggunakan alat bantu hitung (seperti kalkulator, jam kalkulator, hp) dalam menjawab soal. Bagi yang melanggar akan didiskualifikasi dari babak yang berlangsung.

7. Peserta tidak diperkenankan membawa naskah soal ke luar ruangan selama tes berlangsung.

8. Pendamping tidak diperkenankan memasuki ruangan tes saat tes berlangsung.

PENDAFTARAN

Waktu Pendaftaran : (Maksimum 100 peserta)

Gelombang I: 4-18 Februari 2012

Gelombang II: 20—29 Februari 2012

(Catatan: Gelombang II tidak dibuka atau Gelombang II dapat berakhir sebelum tanggal yang ditetapkan jika telah tercapai 100 peserta)

Tempat Pendaftaran : Sekretariat YCM di Jl. Juanda 7 No. 3 Samarinda Telp. 081347512500, 081346474442.

Biaya : Rp. 100.000,00 / peserta

Kelengkapan : (1) Fotokopi Kartu Pelajar; (2) Foto Peserta 2x3 sebanyak 3 lembar; dan (3) Foto Pendamping 2x3 sebanyak 3 lembar. (Pendaftar melalui transfer dapat mengirimkan nama-nama peserta dan pendamping, nomor HP yang dapat dihubungi atau alamat email via sms atau e-mail serta membawa bukti transfer saat registrasi pelaksanaan KPM).

FASILITAS PESERTA

Peserta: Sertifikat, ID Card, Coffee Break with Snack, Lunch(Prasmanan), Naskah Pembahasan Soal KPM III.

Pendamping: Sertifikat, ID Card, Coffee Break with Snack, Lunch(Prasmanan)

(Satu sekolah hanya satu pendamping)

PENENTUAN JUARA

Juara I : Rp. 2.000.000,00; Piala + Piagam, Piala Bergilir Kepala Dinas Pendidikan Kalimantan Timur)

(Peserta peraih tertinggi pertama untuk Total Skor Tes Pilihan Ganda dan Skor Tes Isian Singkat)

Juara II : Rp. 1.500.000,00; Piala + Piagam

(Peserta peraih tertinggi kedua untuk Total Skor Tes Pilihan Ganda dan Skor Tes Isian Singkat)

Juara III : Rp. 1.000.000,00; Piala + Piagam

(Peserta peraih tertinggi ketiga untuk Total Skor Tes Pilihan Ganda dan Skor Tes Isian Singkat)

Juara Pilihan Ganda: Rp. 750.000,00 + Piagam (Peserta peraih tertinggi Skor Tes Pilihan Ganda)

Juara Isian Singkat: Rp. 750.000,00 + Piagam (Peserta peraih tertinggi untuk Skor Tes Isian Singkat)

Catatan:

1. Jika ada 2 atau lebih peserta yang memperoleh total skor sama, maka penentuan peringkat untuk peserta-peserta tersebut terlebih dulu didasarkan pada perolehan skor tes Isian Singkat.

2. Jika ada 2 peserta yang berhak mendapatkan gelar juara Pilihan Ganda atau Juara Isian Singkat maka hadiah akan dibagi rata (masing-masing peserta tetap mendapatkan piagam). Jika lebih dari 2 peserta yang berhak mendapatkan gelar juara Pilihan Ganda atau Juara Isian Singkat, maka gelar juara Pilihan ganda atau Juara Isian Singkat ditiadakan.

Silahkan download

BROSUR:
http://www.ziddu.com/download/18461959/Brosur.pdf.html

UNDANGAN PESERTA
http://www.ziddu.com/download/18461960/Undangan.pdf.html

TATA TERTIB
http://www.ziddu.com/download/18461961/TATIB.pdf.html

TEKNIK PERHITUNGAN PRAKTIS 2

2012-01-22T11:07:00.001+07:00

Perkalian dua bilangan puluhan yang puluhannya sama dan jumlah satuannya 10.

Pernah kamu harus mengalikan dua bilangan puluhan, seperti 86 x 84, 72 x 78, atau 93 x 97? Jika kita melihat pada perkalian bilangan-bilangan tersebut, ada ciri-ciri yang unik. Bilangan puluhan sama dan jumlah satuannya adalah 10.

Untuk kasus perkalian dua bilangan seperti ini, kita dapat menentukan teknik perkalian praktisnya. Tentunya menggunakan aljabar perkalian suku dua.

Makanya cinta ama aljabar maka kamu merasakan manfaatnya.

DASAR ILMIAH

misalkan kedua bilangan itu adalah PA dan PB dengan A + B = 10

PA = P0 + A = (P x 10) + A

PB = P0 + B = (P x 10) + B

Perhatikan langkah berikut:

PA x PB = [(P x 10) + A] [(P x 10) + B]

= (P x 10)² + (P x 10) x B + A x (P x 10) + (A x B)

= (P x 10)² + (P x 10) x (B + A) + (A x B)

= (P x 10)² + (P x 10) x 10 + (A x B)

= (P² x 100) + (P x 100) + (A x B)

= (P² + P) x 100 + (A x B)

= [ P x (P+ 1)]00 + (A x B)

= [ P x (P+ 1)][A x B]

Jadi, PA x PB = [ P x (P+ 1)][A x B]

Contoh penggunaan

86 x 84 = [8 x 9][6 x 4] = 7224

93 x 97 = [9 x 10][3 x 7] = 9021

52 x 58 = [5 x 6][2 x 8] = 3016

Sangat praktis.

TEKNIK HITUNG CEPAT: Kuadrat Bilangan Dua Digit yang satuannya 5

2012-01-22T10:37:00.005+07:00

Teknik perhitungan praktis ini sih sudah lama bergentayangan di masyarakat, terutama di kalangan siswa di sekolah. Bukannya mengangkat yang basi, tapi saya disini hanya berupaya menjelaskan jaminan keberlakuannya.

Penjelasan yang coba dipaparkan berkaitan dengan dasar penemuan rumus. Apakah anda tahu, ternyata teknik perhitungan dihasilkan dari aljabar. Yah, aljabar, yang kata orang njelimet.

Nah, ini intinya. Dengan cinta terhadap aljabar kita akan mampu menghasilkan teknik-teknik perhitungan yang cukup berguna.

Bentuk-bentuk perkalian suku dua dalam aljabar dapat dimanfaatkan untuk menemukan perhitungan praktis perkalian. Banyak buku yang membahas teknik perkalian praktis (cepat) namun tidak banyak membahas asal muasal perhitungan. Oleh karena itu, penulis merasa tertarik untuk menuangkannya pada blog ini.

*****

Seyogyanya kita akan cukup puas bila dengan cepat menentukan hasil 75² atau 95². Namun, jika tidak ditemani oleh kalkulator atau kertas sebagai coretan tentu kesulitannya cukup besar. Apalagi saya yang IQ nya jongkok bin tiarap. Kalau memaksakan diri, bisa-bisa otak ini meledak.

Dalam kasus perhitungan bentuk ini, pengkuadratan suku dua dapat sebagai jalan keluar yang praktis. Perhatikanlah langkah berikut.

Misalkan bilangan puluhan tersebut adalah (P5).

P5 = P0 + 5

= (P x 10) + 5 ………………………….(*)

Berdasarkan (*) kita dapat jalankan

(P5)² = [(P x 10) + 5]²

= (P x 10)² + 2 x (P x 10) x (5) + 5² ……………..(pengkuadratan suku dua)

= (P² x 100) + (P x 100) + 25

= (P² + P) x 100 + 25 …………………….(sifat distributif)

= [(P x (P + 1)]00 + 25

= [P x (P + 1)]25

Jadi, perhitungan praktisnya adalah P5² = [P x (P + 1)]25

Contoh penggunaan berikut ini.

75² = [7 x 8]25 = 5625

95² = [9 x 10]25 = 9025

45² = [4 x 5]25 = 2025

Mudah bukan!

JAWABAN UNTUK ANONIM 30 MARET 2011

2011-04-05T22:19:00.004+07:00

Sebelumnya penulis mengucapkan terima kasih kepada Anonim tertanggal 30 Maret 2011 yang telah memberikan komentar berupa pertanyaan pada tulisan "TRIK CEPAT MENYELESAIKAN SOAL-SOAL MATEMATIKA".

Pertanyaan tersebut adalah sebagai berikut:

Dalam kelas murid-murid bertanya kepada Pak Andi tentang usia keponakannya. Pak Andi menjawab "Saya mempunyai 3 orang keponakan, hasil kali usia mereka adalah 72 dan jumlah usia mereka 14, tetapi murid-murid masih meminta kepada Pak Andi untuk memberi info tambahan sehingga soal dapat dipecahkan.Pak Andi kemudian menyatakan bahwa keponakan tertua adalah pemain catur yang baik.
Berapa usia ketiga keponakan Pak Andi?

Untuk menjawab soal cerita di atas, pertama kita tinjau faktor-faktor dari 72. Faktor dari 72 adalah 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, dan 72.

Susunan tiga buah faktor dari 72 yang jumlahnya 14 antara lain:

(1) 2 6 6 dan
(2) 3 3 8.

Karena ada dua kemungkinan jelas kita perlu melihat petunjuk lain dari gurunya. Petunjuk lain tersebut adalah anak tertua pandai bermain catur. Petunjuk ini jelas mengatakan bahwa anak tertua hanya 1 orang. Jadi, susunan (1) tidak mungkin terjadi karena anak tertua ada 2 orang (masing-masing berumur 6 tahun).

Jawaban yang mungkin adalah :

usia ketiga keponakan pak Andi adalah 3 tahun, 3 tahun, dan 8 tahun.

MENDAMAIKAN PERTENGKARAN AHLI WARIS

2011-03-19T23:59:00.001+07:00

Cerita di bawah ini disadur dari buku Laki-laki Penghitung (Koleksi Petualangan matematika), karya Malba Tahan. Cerita tidak dituliskan secara utuh seperti yang tertulis pada buku tersebut, melainkan disusun ulang dengan bahasa sendiri. Hal ini dilakukan untuk membuat cerita mudah dicerna.

MENDAMAIKAN AHLI WARIS
Kisah ini bermula dari perjalananku mengendarai unta ke kota Baghdad berboncengan dengan seorang laki-laki yang memiliki kemampuan berhitung yang patut diacungi jempol. Laki-laki tersebut bernama Beremiz.
Dalam perjalanan yang memeras keringat ini, ada berbagai peristiwa yang menakjubkan. Peristiwa-peristiwa ini memunculkan kesan bahwa Beremiz adalah ahli matematika yang cakap dalam kemampuan aljabar. Salah satu dari peristiwa tersebut antara lain cerita yang aku hendak tuliskan ini.
Langit yang cerah berwarna biru menemani perjalanan kami di sebuah kota. Mendekati sebuah penginapan tua yang tidak terawat dengan baik, kami melihat tiga orang pria yang sedang berdebat di antara kerumunan orang. Mereka saling berbantahan dan tidak jarang diikuti teriakan dan umpatan yang tidak pantas dialamatkan pada manusia.
Demi memenuhi rasa keingintahuan, kami mendekati kerumunan itu dan mendengarkan perkelahian lidah antara tiga lelaki dewasa tersebut:
”Itu tidak dapat dilakukan!”
”Ya, ini perampokan. Aku tidak setuju!”
”Lantas, apa yang harus kita lakukan untuk memenuhi wasiat orang tua? Pikir dong!”
Tanpa dapat kucegah, temanku Beremiz yang cerdas mendekati ketiga lelaki dan bertanya dengan ramah terhadap mereka:
”Wahai teman-temanku yang seiman. Hentikan pertengkaran yang merupakan jalan masuk setan. Kalau aku boleh tahu, hal apa gerangan yang membuat kalian bertengkar? Tolong ceritakan kepadaku!”
Ketiga orang yang sedang berkelahi tersebut serentak menoleh ke arah Beremiz. Salah satu dari mereka yang kelihatannya paling tua menjawab pertanyaan Beremiz.
”Wahai saudaraku, terima kasih atas peringatan engkau. Sesungguhnya kami ini adalah tiga saudara kandung. Gara-gara harta warisan yang diwasiatkan oleh ayah kami, kami hampir memutuskan tali persaudaraan yang menjalin hati kami. Sekali lagi kami ucapkan terima kasih”
Laki-laki yang lain melanjutkan ucapan saudaranya yang tertua.
”Kami saat ini menghadapi masalah yang pelik akibat wasiat orang tua kami. Di saat meninggal, kami diberi harta warisan sebanyak 35 ekor unta. Ayah kami berwasiat bahwa separuh unta-unta tersebut diberikan kepada Hasim sebagai yang tertua, sepertiga diberikan kepadaku Halim, dan sepersembilannya diberikan kepada Harim sebagai yang termuda. Meskipun wasiat tersebut sudah jelas, kami tidak dapat melaksanakannya. Kami tidak mengetahui bagaimana cara pembagiannya. Tidak mungkin membagi unta-unta tersebut menjadi 2 bagian, apalagi harus menjadi 3 bagian bahkan 9 bagian. Jika salah satu dari kami menyarankan pembagian, pasti dua lainnya tidak sependapat. Oleh karena itu, dari beberapa penyelesaian yang sudah diusulkan, belum ada satupun yang dapat diterima. Apa yang harus kami lakukan? Bagaimana pembagiannya supaya semua dapat menerimanya? Wahai temanku, adakah saranmu bagi kami sehingga dapat membuat kami bersatu kembali?”
Temanku Beremiz tersenyum.
”Persoalan yang sederhana. Aku berjanji akan melontarkan pembagian yang adil. Tapi sebelumnya izinkan aku untuk menambah jumlah unta-unta kalian dengan satu ekor unta yang kami tunggangi ke tempat ini.”
Mendengar pernyataan Beremiz, aku sontak kaget membelalakkan mata. Aku menarik tangan Beremiz ke luar kerumunan dan berkata dengan setengah berbisik:
”kamu gila ya. Ini adalah satu-satunya unta yang kita miliki. Jika unta ini engkau berikan kepada mereka, kita harus mengendarai apa? Perjalanan kita masih sangat jauh. Kita tidak mungkin berjalan kaki.”
Beremiz tersenyum.
”Wahai temanku, tenanglah. Jangan khawatir. Aku tahu apa yang kulakukan. Berikanlah untamu padaku, maka kamu akan menikmati hasilnya. Percayalah.”
Nada bicara Beremiz yang meyakinkan membuat aku pasrah dengan kemauan dia.
Beremiz kembali ke kerumunan dengan membawa unta kesayanganku.
”Kawan-kawanku. Sekarang, jumlah unta-unta kalian bertambah 1 sehingga menjadi 36. Dengan jumlah saat ini, aku akan melakukan pembagian sesuai dengan wasiat ayah kalian.”
Kemudian Beremiz menghadap ke arah si sulung Hasim.
”Wahai Hasim, pada awalnya kamu menerima separuh dari 35 unta, yaitu 17,5 ekor. Sekarang, dengan 36 unta, kamu mendapatkan unta sebanyak 18 ekor. Kamu mendapatkan lebih dari yang seharusnya kamu terima. Aku pikir tidak ada alasan kamu menolak pembagian ini. Apakah kamu menerimanya?”
Hasim dengan wajah senang menjawab ya.
Beremiz memberikan 18 unta kepada Hasim. Setelah itu, Beremiz berdiri menghadap Halim.
”Wahai Halim, pada awalnya kamu menerima sepertiga dari 35 unta, yaitu sekitar 11,67 ekor. Sekarang, dengan 36 unta, kamu mendapatkan sebanyak 12 ekor. Kamu juga mendapatkan lebih dari apa yang seharusnya kamu terima. Sungguh tiada alasan yang perlu kamu ucapkan untuk memungkiri pembagian ini.”
Halim dengan sumringah mengangguk sebagai tanda menyetujui pembagian.
Beremizpun memberikan 12 unta kepada Halim. Kemudian dia berhadapan dengan Harim muda.
”Wahai Harim, berdasarkan wasiat ayahmu, kamu memperoleh sepersembilan dari 35 unta, yaitu 3,89 ekor. Sekarang, dengan 36 unta, kamu menerima 4 unta. Kamupun menerima lebih dari yang seharusnya, ini artinya kamu diuntungkan oleh pembagianku ini. Seharusnya kamu berterima kasih padaku. Nah, adakah alasanmu untuk menolak?”
Harim menggelengkan kepalanya yang menandakan ia tidak menolak dengan pembagian tersebut.
Beremiz dengan tenang menyerahkan 4 unta untuk Harim.
Beremiz berkata:
”Pembagian yang telah aku sampaikan menguntungkan anda bertiga. Anda semua telah memperoleh lebih dari yang seharusnya. Pada hakekatnya anda semua beruntung. Perlu anda ketahui, semua unta yang telah dibagikan berjumlah 18 + 12 + 4 = 34 ekor unta. Ternyata, dari 36 unta terdapat 2 unta ekstra. Seperti yang telah anda semua ketahui, salah satu dari unta tersebut adalah milik temanku. Jelas bagi kita untuk mengembalikan kepada dirinya. Sedangkan satu unta yang lain, sudah sepatutnya diberikan kepada ku. Aku telah memberikan teknik pembagian yang adil sehingga anda semua telah mendapatkan warisan melebihi hak anda. Dan yang paling penting, aku telah mengakhir perselisihan paham di antara kalian.
Hasim menyahut”
”Wahai orang asing. Anda adalah orang yang cerdas. Anda telah mengatasi persoalan rumit yang telah menguras pikiran kami. Kami mengucapkan terima kasih yang sebesar-besarnya. Selain itu, kami pun ikhlas memberikan satu unta tersisa untukmu.”
”Terima kasih wahai teman. Aku Beremiz sungguh senang mendengar ucapanmu”
Beremiz mendatangiku seraya berkata
”Lihat temanku yang terhormat. Aku mengembalikan unta yang aku pinjam. Dan sekarang lihatlah. Aku telah memiliki unta sendiri. aku tidak lagi merepotkanmu untuk membawaku. Aku juga tidak lagi menambah beban untamu”
Aku tersenyum mendengarnya. Di dalam hati aku mengakui akan kehebatan si Beremiz, si lelaki penghitung dari tepi sungai Tigris.

PEMBAHASAN SOAL KOMPETISI MATEMATIKA: PASIAD, OLIMPIADE, DAN ASTRAMATIKA TINGKAT SD DAN SMP

2011-02-15T12:20:00.020+07:00

Dalam rangka ikut berkontribusi dalam memajukan pendidikan matematika di Indonesia, penulis mempersembahkan kumpulan tulisan pembahasan soal-soal kompetisi matematika, seperti PASIAD, Olimpiade Sains Nasional (OSN), dan Asah Terampil Matematika (ASTRAMATIKA), serta Kompetisi Pecinta Matematika (KPM).

Sebelumnya penulis memohon maaf karena tidak dapat membagikan isi kumpulan tulisan ini dengan gratis serta belum dapat menjual softcopy buku ini seperti tahun lalu.

Kumpulan tulisan yang diterbitkan oleh penulis berbentuk buku dan sudah diketik dengan rapi.
Buku ini sudah dijilid dan isinya berupa kertas hvs A4 70 gsm berwarna putih dan biru. Cover buku diprint di atas kertas bufalo/sejenisnya 160 gsm.

Buku I (Harga Rp. 50.000,-) memuat:
1. Pembahasan soal PASIAD III Tingkat SD/MI (30 soal Pilihan Ganda dan 5 Soal Uraian)
2. Pembahasan soal PASIAD IV Tingkat SD/MI (50 soal PG)
3. Pembahasan soal PASIAD V Tingkat SD/MI (50 soal PG)
4. Pembahasan soal PASIAD VI Tingkat SD/MI (50 soal PG)

Berikut ini adalah contoh isi buku I:
http://www.ziddu.com/download/18412763/SAMPUL.pdf.html
http://www.ziddu.com/download/18412760/PASIAD_IVSD.pdf.html
http://www.ziddu.com/download/18412761/PASIAD_SD_Vsd.pdf.html
http://www.ziddu.com/download/18412762/PASIAD_SD_III.pdf.html
http://www.ziddu.com/download/18412764/PASIAD_VISD.pdf.html

Buku II (Harga Rp. 60.000,-) memuat:
1. Pembahasan soal PASIAD VII Penyisihan Tingkat SD/MI (50 soal PG)
2. Pembahasan soal PASIAD VII Final Tingkat SD/MI (40 soal PG)
3. Pembahasan soal PASIAD VIII Penyisihan Tingkat SD/MI (50 soal PG)

Berikut ini adalah contoh isi buku II:
http://www.ziddu.com/download/18412837/SD_PASIADVII.pdf.html
http://www.ziddu.com/download/18412838/SAMPUL.pdf.html
http://www.ziddu.com/download/18412839/PASIAD_SD_VIIIA_PENYISIHAN.pdf.html
http://www.ziddu.com/download/18412840/PASIAD_VII_SD_FINAL.pdf.html

Buku III (Harga Rp. 60.000,00) memuat:
1. Pembahasan soal OSN SD 2010 (Nasional)Tingkat SD/MI (25 Isian Singkat dan 13 uraian)
2. Pembahasan soal OSN SD 2011 (Nasional)Tingkat SD/MI (25 Isian Singkat dan 13 uraian)
3. Pembahasan soal ASTRAMATIKA XVIII (Mandiri) Tingkat SD/MI (30 Isian Singkat dan 5 uraian)
4. Pembahasan soal ASTRAMATIKA XVIII (Kelompok) TIngkat SD/MI (30 Uraian)

Berikut ini adalah contoh isi buku III:
http://www.ziddu.com/download/18412878/OSN_NAS2011.pdf.html
http://www.ziddu.com/download/18412879/ASTRAXVIII_SD_MANDIRI2011.pdf.html
http://www.ziddu.com/download/18412880/SAMPUL_GABUNGAN.pdf.html
http://www.ziddu.com/download/18412881/OSN_NAS2010.pdf.html
http://www.ziddu.com/download/18412882/ASTRAXVIII_SD_KLPK2011.pdf.html

Buku IV (Harga Rp. 65.000,00) memuat:
1. Pembahasan soal PASIAD IV Tingkat SMP/MTs (50 soal PG)
2. Pembahasan soal PASIAD V Tingkat SMP/MTs (50 soal PG)
3. Pembahasan soal PASIAD VI Tingkat SMP/MTs (50 soal PG)
4. Pembahasan soal PASIAD VII Tingkat SMP/MTs (50 soal PG)
5. Pembahasan soal PASIAD VIII Tingkat SMP/MTs (50 soal PG)

Berikut ini adalah contoh isi buku IV:
http://www.ziddu.com/download/18412912/PASIAD_VIII_SMP.pdf.html
http://www.ziddu.com/download/18412913/PasiadV_SMP.pdf.html
http://www.ziddu.com/download/18412914/SAMPUL_SMP_PASIAD.pdf.html
http://www.ziddu.com/download/18412915/PasiadVII_SMP.pdf.html
http://www.ziddu.com/download/18412916/PasiadVI_SMP3.pdf.html
http://www.ziddu.com/download/18412917/SMP_PASIADIV.pdf.html

Buku V (Harga Rp 35.000)
1. Pembahasan KPM I Tingkat SD/MI (30 butir isian singkat)
2. Pembahasan KPM II Tingkat SD/MI (30 butir isian singkat)

Jika ingin memesan buku, silahkan menghubungi (LEWAT sms):

SAFRUDIANNUR
No HP. 081346474442

bIAYA BUKU + oNGKOS kirim dapat ditransfer ke nomor rekening

BANK BNI
No: 0076761615
Atas Nama: Syafrudiannur

(Ongkos kirim menyesuaikan)

Tatacara pemesanan buku:
1. Memberitahukan lewat SMS tentang Nama Pemesan dan Alamat Lengkap
2. Uang Harga Buku + Ongkos kirim ditransferkan terlebih dulu.
3. Ongkos kirim akan diberitahukan kemudian setelah ada pemberitahuan tentang alamat pemesan.

(Pemesanan softcopy buku belum dilayanai)

ATAS PERHATIANNYA, PENULIS UCAPKAN TERIMA KASIH

MATEMATIKA: Apakah Menata atau Merusak Penalaran?

2009-12-25T01:09:00.002+07:00

Penulisan artikel ini dilatarbelakangi oleh kerisauan penulis yang mencintai matematika. Kerisauan penulis terjadi karena adanya anggapan terhadap matematika dari para siswa yang tidak menyukai matematika. Kebanyakan dari mereka berpendapat bahwa matematika itu hanya sebuah pekerjaan di atas kertas. Mereka berkilah bahwa matematika itu tidak ada manfaatnya dalam kehidupan sehari-hari selain kegunaannya dalam berhitung. Hal ini terjadi karena kebanyakan masalah-masalah yang mereka temui dalam kehidupan tidak ada rumusnya dalam matematika.

Penulis tidak menyalahkan anggapan dari para siswa tersebut, tetapi tidak pula membenarkannya. Untuk itu, penulis akan menyodorkan sedikit argumen untuk membahas masalah di atas.

Sebelum melanjutkan diskusi, ada baiknya kita melirik terlebih dulu maksud pemerintah memasukkan pelajaran matematika di sekolah. Sesuai dengan dokumen Standar Isi dalam Permendiknas No. 22 Tahun 2006, mata pelajaran Matematika diberikan kepada semua peserta didik mulai dari sekolah dasar dengan maksud untuk membekali peserta didik dengan kemampuan berpikir logis, analitis, sistematis, kritis, dan kreatif, serta kemampuan bekerjasama. Kemampuan berpikir seperti yang disebutkan di atas erat kaitannya dengan kemampuan bernalar. Oleh karena itu, jika kita berpedoman pada maksud di atas, tentunya siswa yang mempelajari matematika maka akan memperoleh kemampuan bernalar yang baik.

Menurut penulis, maksud pemerintah ini ada benarnya. Di dalam matematika, urutan dan landasan berpikir sangat ditekankan. Oleh karena urutan diperhatikan, tidak dianjurkan seorang siswa dalam melaksanakan prosedur matematika secara loncat-loncat dan terbolak-balik. Jika dilakukan maka siswa tersebut pasti mengalami kebingungan. Sedangkan penekanan pada pentingnya landasan berpikir, terlihat pada definisi dan teorema dalam matematika. Tidak dibenarkan penggunaan langkah-langkah dalam prosedur matematika tanpa ada definisi atau teorema yang melatarinya.

Adanya urutan dan landasan berpikir ini seharusnya menata nalar siswa. Sebelum membahasnya, penulis mengajak pembaca untuk merenung kembali saat berada di sekolah dasar atau menengah, terutama pada waktu menyelesaikan soal cerita. Bukankan ketika menyelesaikan soal yang berisi sederet kalimat tersebut, kita disuruh untuk terlebih dulu menulis apa yang diketahui, apa yang ditanyakan, dan bagaimana menyelesaikannya. Pada saat menuliskan apa yang diketahui, kita mendaftar fakta-fakta penting di dalam pernyataan soal dan data-data yang diperlukan. Ketika menuliskan apa yang ditanyakan, kita mendaftar poin penting yang diinginkan oleh pernyataan untuk dijawab. Dan sewaktu menjawab, kita mencoba bernalar mengenai rumus atau prosedur untuk menyelesaikannya. Rumus atau prosedur tersebut tentu dilandasi oleh hubungan antara poin-poin yang diketahui dan yang ditanyakan. Kemudian langkah-langkah penyelesaiannya pun harus dilandasi hal-hal yang dibenarkan dalam matematika dan urutannya pun dapat dipertanggungjawabkan.

Nah, kembali pada menata nalar. Adanya urutan dan landasan yang benar secara matematis inilah yang berperan menata nalar siswa. Tentunya, dengan mempelajari matematika, maka nalar siswa akan lebih terurut sistematis dan memiliki landasan yang kuat. Namun, mengapa bagi sebagian siswa matematika itu malah merusak nalar siswa? Bahkan ada yang beranggapan mematikan nalar siswa karena sering mengalami kegagalan otak (baca: otak buntu) ketika mengerjakan soal-soal matematika. Atau ada pula yang beropini kalau belajar matematika itu membuat kepala pusing. Kalau sudah pusing, jangankan untuk bernalar, untuk berpikir saja sudah tidak bisa.

Munculnya anggapan ini, menurut penulis dikarenakan adanya tuntutan-tuntutan yang dibebankan kepada siswa dan diperparah dengan adanya Ujian Nasional yang cenderung hanya menilai kognitif siswa. Tuntutan-tuntutan yang dimaksud penulis adalah siswa harus dapat mengerjakan soal-soal matematika di atas kertas. Untuk mampu melakukannya maka tidak ada jalan lain bagi siswa selain harus mengingat semua prosedur atau rumus yang diajarkan oleh guru matematika.

Adanya tuntutan inilah yang sebenarnya membuat siswa beranggapan matematika lepas dari penataan nalar siswa. Tuntutan ini juga yang menyebabkan siswa menjauhi matematika. Jika tuntutan ini dibebankan kepada siswa yang menyukai, jenius, atau pintar di bidang matematika maka merupakan beban yang ringan. Tapi, bagaimana bagi siswa yang tidak memiliki potensi matematika? Meskipun dia jenius di bidang lain (seperti olahraga, musik, atau bahasa), tuntutan di atas merupakan beban yang berat. Oleh karena itu, seharusnya keberhasilan matematika (apalagi untuk kelulusan) tidak hanya diukur melalui tingginya nilai di atas kertas. Selain itu, seharusnya di dalam matematika tidak hanya diajarkan rumus atau prosedur melainkan juga bernalar. Hal ini mengingat di dalam kehidupan, masalah-masalah yang ditemui oleh siswa tidak memiliki rumus penyelesaian.

(agar lebih jelas, baca artikel yang lain tentang TRIK CEPAT MENYELESAIKAN MATEMATIKA dan ALGORITMA BERBAHAYA BAGI PENALARAN SISWA)

Nah, inilai uraian opini penulis tentang pertanyaan pada judul artikel. Apakah anda memiliki pendapat lain? Tulis pada kolom komentar disertai alasannya. Alasan-alasan tersebut harus masuk akal.

Barisan yang menarik

2009-12-06T16:31:00.009+07:00

Apa kabar wahai para pembaca? Aduh, maaf jika saya sudah lama tidak menemui anda. Terakhir hanya dua artikel yang dapat dimasukkan dalam blog ini. Baru dalam bulan november ini saya berkesempatan untuk menulis kembali. Mudah-mudahan tulisan ini dapat mengobati rasa rindu saya kepada para pembaca.
Mohon maaf juga saya sampaikan apabila saya tidak membalas semua komentar dan jawaban soal yang telah diungkapkan oleh pembaca.

Pada tulisan ini, saya mencoba untuk menyajikan suatu barisan yang cukup menarik dalam matematika. Barisan ini ada kaitannya dengan pernyataan kemungkinan ya atau tidak.

Penulis yakin bahwa para pembaca pernah melakukan mengambil keputusan berdasarkan kemungkinan yang muncul, atau paling tidak melihatnya di dunia nyata maupun di televisi. Pengambilan keputusan berdasarkan kemungkinan tersebut yang sederhana, misalnya, adalah mengambil keputusan ya atau tidak. Sering untuk memutuskan itu, seseorang menggunakan jari-jarinya. Misalnya dimulai dari jari kelingking tangan kiri, orang tersebut melafalkan ya, terus ke jari sebelahnya tidak, kemudian ya, dan seterusnya. Pelafalan ya atau tidak berhenti setelah jari-jari yang digunakan habis

(untuk membantu pelafalan, ada orang yang menggunakan jari-jari tangan kiri saja, ada yang kedua tangan. Kalau merasa kurang yakin, ada yang memakai jari-jari kaki juga. Kalau perlu, jari-jari teman sebanyak-banyaknya. Tetapi yang paling ekstrim memanfaatkan banyaknya rambut-rambut, seperti di kaki. Mungkin karena banyaknya rambut tidak dapat ditebak. Setiap waktu berbeda-beda karena ada yang tumbuh dan ada yang rontok.
Tapi ada enggak ya, orang yang menggunakan rambut di kepala?. Saya pikir sih tidak ada, karena mungkin dalam satu hari kita tidak dapat membilang banyaknya rambut satu-persatu. Jika ada yang mencoba, saya yakin pasti air liurnya kering deh. )
Lho, kok ngelantur sih. Ayo kita balik ke tulisan utama.

Setelah habis, pelafalan yang keluar itulah yang dijadikan keputusan. Kalau iya, dikerjakan. Kalau tidak, ditinggalkan.

Jika kita orang yang waras, tentu berpikir: ”Apakah benar keputusan kita”?. Untuk meninjau pertanyaan ini, penulis akan mencoba membawa pembaca untuk memasuki dunia matematika.

Andaikan dimisalkan keputusan ya adalah 1, dan keputusan tidak adalah -1. Kita akan memperoleh barisan
1, -1, 1, -1, 1, -1, 1, -1, ...
(Tanda 3 titik terakhir menunjukkan banyaknya suku barisan tak hingga dan polanya terus berulang.)
Hasil keputusan adalah penjumlahan suku-suku barisan ini. Coba kita jumlahkan suku-sukunya:

1 + -1 + 1 + -1 + 1 + -1 + ... = (1 + -1) + (1 + -1) + (1 + -1) + ...
= 0 + 0 + 0 + ...
= 0

Menariknya, jika kita sedikit mengubah cara menjumlahkan maka hasil yang kita peroleh berbeda.

1 + -1 + 1 + -1 + 1 + -1 + 1 + ... = 1 + (-1 + 1) + (-1 + 1) + (-1 + 1) + ...
= 1 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + ...
= 1

Yang lebih ekstrim lagi adalah sebagai berikut
Misalkan

S = 1 + -1 + 1 + -1 + 1 + -1 + 1 + ...
<-> S = 1 + (-1 + 1 + -1 + 1 + -1 + 1 + ...)
<-> S = 1 + -(1 + -1 + 1 + -1 + 1 + -1 + ...)
<-> S = 1 + -S
<-> 2S = 1
<-> S = ½

Lho, ternyata 1 + -1 + 1 + -1 + 1 + -1 + 1 + ... = ½

Apakah pembaca merasa aneh, atau bingung terhadap banyaknya hasil penjumlahan? Secara matematis, hal ini wajar terjadi. Deret dari barisan yang kita miliki adalah tergolong barisan yang divergen. Karena divergen, kita tidak akan dapat menebak pendekatan (limit) suku deret yang ke-tak hingga. Oleh karena itu wajar jika terjadi berbagai kemungkinan jawaban.

Nah, apakah pembaca dapat menebak maksud saya?
Ada hal filosofis yang dapat ditarik dari fenomena barisan ini, yaitu dari hasil penjumlahan suku-sukunya yang tidak konsisten, dapat 0, 1, atau ½. Filosofisnya adalah kita tidak dapat mempercayai begitu saja keputusan melalui percobaan kemungkinan ya atau tidak. Hasilnya akan diluar dugaan. Kalau kita beruntung, mungkin hasilnya baik bagi nasib kita. Tetapi bagaimana kalau buntung, apakah pembaca mau? Seharusnya pengambilan keputusan berdasarkan logika atau pikiran. Kita harus memperhitungkan kebermanfaatan yang diperoleh dan resiko yang harus ditempuh. Dengan perhitungan seperti ini, hasil yang kita peroleh pun dapat dipertanggung jawabkan.
Jadi, melalui artikel ini, penulis ingin mengajak pembaca untuk terlebih dulu berpikir dalam mengambil keputusan. Pembaca seyogyanya tidak mempertaruhkan masa depannya hanya pada keputusan ya atau tidak melalui bantuan jari.

SELAMAT DENGAN LOGIKA

2009-05-20T22:45:00.003+07:00

Artikel ini bercerita tentang seorang pengembara yang diselamatkan oleh logika kontradiksi. Dengan kemampuan logika yang dimilikinya, ia terhindar dari hukuman kepala suku primitif di pedalaman hutan Indonesia.

Mau tau ceritanya..........?

Seorang pengembara wisata kuliner yang selalu berkunjung ke desa-desa di Indonesia yang terkenal masakannya tersesat di dalam hutan rimba Indonesia yang belum terjamah oleh para petualang. Hal ini terjadi karena dia tanpa sengaja memilih jalan yang salah. entah mengapa dia lebih memilih jalan menuju hutan rimba dibanding jalan beraspal. mungkin jiwa petualangnya yang menyuruhnya demikian.

Setelah lama berusaha menemukan jalan keluar, tanpa sengaja dia menemukan perkampungan penduduk. Namun yang membuat dia heran, rumah-rumah perkampungan ini bukanlah rumah-rumah biasa. Rumah-rumah itu dibuat sekedar untuk berteduh saja seperti pos ronda. Dan yang membuat dia terkejut adalah para penduduk di perkampungan itu. Mereka menggunakan pelindung badan seadanya. Bahannya pun terbuat dari daun-daun pepohonan.

Saat sedang terheran-heran, tiba-tiba sekelompok penduduk menyergap dia dari belakang. Pada awalnya dia berusaha melawan. Namun karena terlalu banyak si pengembara tidak mampu berbuat banyak. Akhirnya dia pasrah digotong oleh para penduduk seperti hewan buruan masuk dalam perkampungan menuju ke tempat kepala perkampungan tersebut.

Setelah tiba di tempat kepala perkampungan, si pengembara diikat pada tiang yang dikelilingi kayu bakar. Si kepala perkampungan sambil berdiri berkata lantang kepada si pengembara (untungnya dia pakai Bahasa indonesia).

"Wahai orang asing, kamu telah kami tangkap. dan sebentar lagi kamu akan dijadikan santapan siang suku kami. Karena itu, sebelum semua itu terjadi, buatlah sebuah pernyataan. Jika pernyataan kamu benar, maka kamu akan dipanggang di atas bara api. namun jika pernyataan kamu salah, maka kamu akan direbus di dalam kuali."

Mendengar ucapan si kepala perkampungan, si pengembara geleng-geleng kepala sambil tersenyum kecut. batinnya berkata kalau kepala kampung ini orang gila. Pernyataan lantang yang diucapkan bernilai akhir sama bagi pengembara. Sama-sama membuat ia menjadi makanan bagi penduduk kampung itu.

Pada saat yang genting tiba-tiba penalaran matematikanya jalan. Secara mendadak muncul ide membuat suatu pernyataan yang menyelamatkan dia. Mau tahu penalaran yang tiba-tiba muncul dalam pikiran dia??? dan apa pernyataan dia?????????

(kalau mau tahu, arahkan turun ke bawah roll mouse nya)
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>

Penalaran matematika yang muncul bersifat logika. Si pengembara menganalisis dalam hatinya seperti berikut:

jika pernyataan benar maka akan terjadi P. jika pernyataan salah maka akan terjadi Q.

Berarti supaya selamat, buat pernyataan yang akan terjadi adalah Q.
Jika benar maka seharusnya terjadi Q, padahal kepala kampung menghendaki terjadi P (bertentangan kan).
Jika salah maka tidak akan terjadi Q, padahal kepala kampung menghendaki terjadi Q (bertentangan lagi).

Pertentangan ini akan membuat kepada suku bingung sehingga si pengembara selamat dari kegilaan kepala kampung.

nah, bertolak dari pikiran logika matematika, si pengembara membuat pernyataan:

AKU AKAN DIREBUS DALAM KUALI........

JAWABAN UNTUK PAK INDRA

2009-05-20T22:26:00.005+07:00

Alhamdulillaah, akhirnya saya berkesempatan kembali menulis artikel untuk blog ini setelah beberapa lama terbuai oleh perasaan senangnya liburan. Bahkan saking senangnya, rasa malas untuk menulis terus terbawa beberapa bulan setelah masa liburan berakhir.

Sebelumnya saya mohon maaf jika beberapa komentar yang bernada pertanyaan belum dapat saya jawab. Mohon dimaklumi karena ini terjadi atas kehendak saya sendiri. Alasannya antara lain telah disebutkan di atas.

Ketika saya kembali membuka blog ini, saya membaca sebuah pertanyaan yang menarik dari Pak Indra, seorang guru matematika di Surabaya. Pertanyaan ini tertulis di kolom komentar artikel Tidak Pernah ada Operasi 0/0 dalam Limit. Pertanyaan ini sangat menarik sehingga saya merasa jawabannya perlu ditulis dalam bentuk sebuah artikel.

Daripada kita bolak-balik melihat pertanyaan pak Indra yang saya maksud, maka saya menuliskan kembali disini. Pertanyaannya adalah bagaimana menerangkan secara simpel pertanyaan berikut ini:

Jika suatu pekerjaan dikerjakan oleh 30 orang maka pekerjaan tersebut akan selesai dalam 42 hari. jika pekerjaan berlangsung selama 20 hari lalu pekerjaan dihentikan selama 12 hari karena ada suatu hal, dan pimpinan menginginkan pekerjaan akan selesai tepat waktu, maka tambahan pekerja adalah .............

Kalau kita sedikit berpikir, masa sih sulit menerangkan pertanyaan di atas. Cukup gunakan bahasa Indonesia yang baik dan jelas maka siswa akan mengerti maksud dari pertanyaan. Tapi kalau kita pikirkan kembali, apakah pertanyaan pak Indra sederhana seperti itu? Rasanya tidak. Jadi saya berasumsi mungkin yang dimaksud Pak Indra adalah menerangkan penyelesaian dari pertanyaan di atas.

Penyelesaian persamaan di atas dapat menggunakan beragam metode. Namun sangat disayangkan Pak Indra tidak mengungkapkan penyelesaian yang beliau gunakan. Jika beliau mengungkapkan mungkin kita dapat menganalisis bersama bagaimana cara menerangkan yang baik.

Kembali pada metode penyelesaian. Penyelesaian secara ilmiah telah dituliskan oleh mas Agoessss (dapat dilihat pada kolom komentar artikel Tidak Pernah ada Operasi 0/0 dalam Limit).

Sedikit berbeda dengan mas Agoessss, dalam artikel ini saya mencoba mengemukakan penyelesaian yang lebih menekankan pada penalaran. Tapi mudah-mudahan jawabannya sama (doakan ya.....).

Perhatikan kembali pertanyaan di atas.

Untuk menjawabnya kita boleh saja berandai-andai, ya kan? (tiga kata bagi yang melarang: Emang Gue Pikirin.... he...he...) Andaikan pekerjaan itu adalah menyelesaikan kerajinan 42 karya selama 42 hari yang dikerjakan oleh 30 orang.

Berarti 1 hari dapat 1 karya.

Setelah 20 hari bekerja tentunya dihasilkan 20 karya. Berarti tersisa 22 karya lagi.

Karena masalah darurat krisis global, pekerja diliburkan 12 hari setelah itu dilanjutkan kembali.

Berarti hanya tersisa 10 hari untuk menyelesaikan 22 karya.

Dalam 10 hari terakhir, 30 pekerja dapat menyelesaikan hanya 10 karya. Berarti untuk 12 karya lain diperlukan tambahan pekerja.

10 karya perlu tambahan 30 pekerja

2 karya (karena 2/10 = 1/5) perlu tambahan 1/5 dari 30 pekerja, yaitu 6 orang.

Jadi, tambahan pekerja yang diperlukan adalah 36 orang (waaa.....h, mas agoessssss jawaban kita sama).

Metode penyelesaian yang saya ajukan di atas lebih berlandaskan penalaran. Saya bukanlah orang yang pandai matematika seperti mas agoesssssss sehingga saya menghindar dari perhitungan yang rumit.

Bagi pak Indra, semoga metode jawaban saya ini mudah disampaikan dan dijelaskan kepada siswa.

Lebih berat 5 kg besi ketimbang 5 kg kapas

2009-01-31T13:21:00.001+07:00

Pagi itu aku melihat siswaku yang bernama Udin sedang duduk sendiri merenung di depan kelas. Mukanya tampak kusut tak keruan, seperti menandakan ada yang mengganjal pikirannya.
Aku bergegas mendatangi Udin. Mungkin aku bisa menghibur supaya dia kembali ceria.
"Assalamu'alaikum Udin".
Udin yang tadi merenung menjadi terkejut mendengar ucapan salam dariku.
"Eh, bapak. Alaikumussalam Pa."
"Udin, dari tadi bapak perhatikan, kamu tidak seperti biasanya. ada masalah ya? ceritakan aja ke Bapak mungkin bapak bisa bantu?" aku bertanya sambil memasang muka serius penuh simpati.
"mmmmmmmmhhhhhhhhh", Udin hanya bergumam mendengar pertanyaanku.
"Ada apa Udin? ko tidak menjawab pertanyaan bapak." aku bertanya lagi.
"Begini pa. Kemarin sore Udin membeli cd film, judulnya bagus Pa. keren. tapi saat diputar di rumah, tidak ada gambarnya. Hanya warna biru dan tampilan waktu saja. Udin merasa rugi Pak." Udin mengeluarkan uneg-uneg di dadanya dengan emosi.
"O.... begitu ya Din. Emangnya apa judul cd nya? aku bertanya sambil mengangguk.
"CD cleaner Pa"
Mendengar judul itu aku langsung tertawa keras sambil memegang perut. "Hua...ha...hua...ha...." tapi saat melihat muka Udin aku langsung menutup mulut. Aku sadar kalau tertawa ku akan menyakiti Udin padahal niatku sebelumnya untuk menghibur. Aku buru-buru minta maaf.
"Maaf ya Din. Tadi bapak tak kuat menahan tawa. Kamu sih ada-ada saja".
"Kok bapak tertawa?" Udin bertanya dengan muka kesal.
"Udin, cd cleaner itu artinya cd pembersih. Jadi cd cleaner itu bukan cd film melainkan untuk membersihkan optik cd player supaya cd player tetap awet. fffff " aku menjelaskan sambil menahan tawa.
Tapi yang namanya Udin tidak mau kalah. Rupanya dia tidak suka aku tertawa dan ingin balas kelakuanku.
"Bapak saya punya teka-teki. Bapak harus jawab ya"
"Teka-teki?" aku bertanya sambil mengkerutkan dahi. aku membatin mungkin dia ingin membalas.
"Baiklah. apa teka-tekinya?"
"Manakah yang lebih berat, 5 kg besi atau 5 kg kapas?"
Mendengar teka-teki itu aku hanya tersenyum. Inikan hanya teka teki biasa yang sudah sering ku dengar. Kemudian aku menjawab dengan alasannya. "Udin, tentunya tidak ada yang lebih berat. 5 kg besi itu sama beratnya dengan 5 kg kapas. Kan sama-sama 5 kg". Aku kembali tersenyum karena merasa menang.
"Bapak salah. 5 kg besi lebih berat!" kemudian Udin loncat kegirangan.
"Lho kok salah?" aku bertanya keheranan.
"Bapak, kalau 5 kg besi dipukulkan ke kepala tentu sakitnya akan lebih berat ketimbang 5 kg kapas. benarkan? makanya Pak. seharusnya tanya dulu semesta pembicaraan kita. Hua....ha....ha...." kini gantian Udin yang tertawa.
"%&)#5kg@#@$%$%" Aku tidak bisa menjawab lagi.
Namun, walaupun Udin tertawa, aku tidak marah. Tujuanku sudah tercapai karena ia sudah kembali tertawa. Kemudian aku ikut tertawa juga.

Negatif x negatif hasilnya positif

2009-01-31T13:10:00.003+07:00

"Assalaaaaaamu 'alaikum"
Teriakan salam dari adikku membuyarkan konsentrasiku saat membaca buku matematika. "Alaikumussalam warahmatullah wabarakatuh" aku menjawab.
Setelah adikku melepas sepatunya dan meletakkan di rak sepatu, dia datang menghampiriku.
"Kakak, lagi sibuk ya?"
"Enggak juga. ada apa?"
"Tadi kan Adi belajar matematika di sekolah. Gurunya mengajar tentang perkalian bilangan bulat. Katanya negatif x negatif hasilnya positif. Kok bisa ya?"
Aku tersenyum mendengar penuturan adikku yang bernama Adi.
"Emangnya gurumu tidak menjelaskan mengapa hal itu bisa terjadi?"
"Eeee.....h. Ada sih, tapi Adi belum mengerti. Ajarkan ya Kak? pinta adikku dengan memelas.
"Iya.. tentu saja adikku sayang. Tapi... sebelum itu makan dulu.. Kan cape baru datang dari sekolah. Nanti setelah makan dan istirahat baru kakak ajari. Oke?
"Oke kak!" dia menjawab tawaranku dengan wajah tersenyum dan sambil mengacungkan jempol tangannya.

***

Setelah adikku makan dan beristirahat, dia kembali mendekatiku tuk menagih janji. Di tangannya sudah ada buku dan pensil.
"Kak, Adi sudah makan nih. Ayo kita belaja...r. Tadi kakak kan sudah janji"
Aku tersenyum senang melihat semangat adikku yang mau belajar. Aku tidak mau semangat itu hilang maka aku segera menepati janjiku.
"Iya.. tapi kita di luar saja ya mainnya"
"Lho, kok main sih. Adi kan maunya belajar" adikku memprotes ucapanku.
"He...he.... Main sambil belajar lah. Supaya Adi gak bosan"
"O...." Adikku hanya bergumam sambil mengangguk setelah mendengar penjelasanku....
Setelah itu kami pergi ke halaman rumah.
"Adi, sebelum kita mempelajari negatif x negatif kakak mau bertanya dulu. Adi masih ingat, apa artinya 4 x 2?"
"Masih kak. 4 x 2 itu sama dengan 2 + 2 + 2 + 2 = 8. Benarkan?"
"Waa..h. Adikku memang pintar" pujiku sambil mengacungkan jempol.
"Kalau begitu. Yang mana sebagai pengalinya?"
"Pengali itu yang memperbanyakkan? ya 4 lah." Terang adikku dengan yakin.
"Hebaa...t"
Karena senang mendengar pujianku, tanpa ditanya dia langsung mengungkapkan pengetahuannya.
"Kalau 4 sebagai pengali, maka 2 itu yang dikalikan atau yang diperbanyak. Benar lagi kan?
"He...he.... Bagus. Bagus. Bagus." Dua jempol tangan aku acungkan kepada adikku. Dia makin sumringah.
"Oke. kamu sudah tahu. Nah, sekarang tulisdan ingat aturan ini ya..."
"Pasti kak" jawab adikku sambil bergegas menyiapkan alat tulis dan bukunya.
"Oh iya. ada yang kakak lupa. Kamu sudah tahu positif dan negatif kan?"
"jelas dong kak. Adi kan pintar"
Mendengar itu aku hanya tersenyum.
"Nah, catat ya. Kesepakatan untuk pengali. Positif artinya lakukan sedangkan negatif artinya lakukan lawannya. paham?"
"Paham kak. Kalau pengali positif artinya lakukan dan kalau negatif artinya lakukan lawannya" jawab adikku sambil mengangguk.
"Sekarang untuk yang dikalikan. Positif artinya maju sedangkan negatif artinya mundur. Catat dan ingat baik-baik ya"
"Iya kak."
"Coba kamu baca kembali dan pahami dengan baik aturannya. Kakak beri waktu 5 menit"
Setelah kuberi perintah, mulut adikku langsung komat kamit seperti dukun baca mantera dan sesekali menengadahkan kepala melihat ke atas.

***

Lima menit kemudian aku memberikan pertanyaan pertama.
"4 x 2 berarti lakukan sebanyak 4 kali pekerjaan maju 2 langkah. Praktekkan!"
"Lakukan sebanyak 4 kali pekerjaan maju 2 langkah" adikku mengulang pernyataanku dan kemudian mempraktekkannya.
"Apa hasilnya?" tanyaku
"hasilnya maju sebanyak 8 langkah," jawab adikku.
"positif atau negatif?" tanyaku lanjut.
"karena maju berarti positif" jawab adikku dengan yakin.
"Nah, positif x positif hasilnya juga positif. Sesuaikan dengan yang kamu pelajari"
"Eh, iya kak. betul. tapi kan itu sudah umum. bagaimana kalau melibatkan bilangan negatif?"
"Mmmmhh, coba sekarang 4 x (-2). apa artinya dan bagaimana hasilnya?"
"positif kali negatif ya. artinya lakukan sebanyak 4 kali pekerjaan mundur 2 langkah". setelah memahami adikku langsung mempraktekannya. "Hasilnya mundur 8 langkah. Karena mundur berarti negatif."
"Jadi?" aku menanyakan apa yang dia peroleh.
"Jadi, positif x negatif hasilnya negatif. Iya kak, sesuai lagi dengan yang disekolah." Jawab adikku dengan senyum.
"Paham?" tanyaku kembali untuk memastikan.
"Iya iya. paham" jawab adikku dengan yakin.
"Sekarang, bagaimana dengan (-4) x 2. apa hasilnya?" Aku melanjutkan ke soal berikutnya.
"Tadi kesepakatannya kalau pengali negatif berarti lakukan lawannya. Kalau begitu -4 x 2 adalah lakukan sebanyak 4 kali lawan dari pekerjaan maju 2 langkah. Lawannya maju adalah mundur" Setelah memahami apa yang dilakukan, dia langsung mempraktekkannya. "Hasilnya adalah mundur 8 langkah. Karena mundur berarti negatif."
"Artinya?" aku bertanya hasil dari praktek yang telah dia lakukan.
"Artinya, negatif x positif hasilnya negatif."
"Bagus. adikku ini memang pintar".
"He..he..." adikku tersenyum mendengar pujianku.
"Sekarang, bagaimana kalau negatif x negatif. pertanyaannya -4 x -2."
"-4 x -2 berarti lakukan sebanyak 4 kali lawan dari pekerjaan mundur 2 langkah. Lawan dari mundur adalah maju" setelah memahami artinya adikku melaksanakan prakteknya. "Hasilnya adalah maju 8 langkah. Maju berarti positif. Jadi negatif x negatif ternyata hasilnya positif."
"Bagus.... bagus... Sekarang kamu mengerti kan kalau negatif x negatif itu hasilnya positif."
"Iya. sekarang Adi mengerti kalau negatif x negatif itu hasilnya positif. makasih ya kak. Adi akan selalu mengingat cara ini"
"Sama-sama. Kakak senang punya adik yang selalu mau belajar".

***

TERTAWA SEBENTAR ALA MATEMATIKA (1)

2009-01-26T16:35:00.005+07:00

He..... he... he.....
He..... he... he.....
Adu..h, maaf ya. aku bingung nih mau tulis apa... abis pikiranku ikut tertawa...

begini ceritanya............
Saya browsing di internet, dan aku menemukan gambar atau foto lucu matematika. semoga kamu tertawa....

(diambil dari Ad Astra Per Aspera)

(diambil dari Spicebears)

(Diambil dari : Ad Astra Per Aspera)

(diambil dari Ad Astra Per Aspera)

(diambil dari Ad Astra Per Aspera)

SAMA TAPI BEDA

2009-01-26T14:07:00.003+07:00

Judulnya aneh ya? He...he...he..... mungkin perasaan saya lagi aneh saja. Seperti cinta kali ya. Mungkin dulu sebelum jatuh cinta terhadap seorang gadis mungkin sebagian dari kita merasa hidup tanpa si doi itu biasa. Namun ketika sudah berpacaran, tiba-tiba sebagian dari kita merasa takut putus cinta karena tidak bisa hidup tanpa si doi.
Aneh kan. Padahal sama saja, tanpa dia. Tapi pasti saya yakin sebagian dari kita berkilah itu beda. Mengapa saya yakin? Karena perihal ini sering saya dengar di sinetron Indonesia bertemakan cinta. Selain itu juga pernah dengar di siaran berita televisi. Yang mengerikan nih, ada saja orang yang bunuh diri hanya karena putus cinta. Hi....... Na’udzubillaahi min dzalika
Nah, inilah yang saya maksud sama tapi beda.
Tulisan kali ini kira-kira bertemakan hal yang sama. Mungkin bagi kita sebagai pencinta matematika menganggap dua hal sama karena memiliki karakteristik yang sama. Namun hal yang sama itu belum tentu berlaku bagi orang lain, terutama siswa. Agar lebih jelasnya maka saya tuangkan saja ya ke dalam bentuk cerita berikut.
***

Selesai berdoa, aku memulai pelajaran. ”Pada hari ini, kita akan melanjutkan belajar TRIGONOMETRI. Sekarang kita akan membahas penerapannya”.
Tiba-tiba kelas bergemuruh. ”Wuih, belajar bahasa planet lagi.” salah seorang siswa yang bernama Udin menyeletuk dan kemudian disambut tawa teman-temannya.
Aku hanya tersenyum dan tidak segera menjawab. ”Baik anak-anak, sebelum kita memulai materi yang menantang ini, kita akan tinjau dulu manfaatnya”. Aku diam sesaat.
”Pernahkah kamu berpikir bagaimana caranya untuk mengukur tinggi tiang bendera di lapangan kita” seraya jari telunjukku menunjuk ke tiang bendera yang terlihat melalui jendela. Anak-anak pun mengikuti arah jariku lalu tak lama setelah itu kembali memandang mukaku.
Suasana hening. Mereka terlihat berpikir. Si Udin tadi cuma garuk-garuk kepala. Aku hanya berharap kalau perilaku itu menunjukkan dia ikut berpikir.
”Sekarang kita ke lapangan. Kita akan mengukur tiang bendera dengan bantuan dua alat ini,” aku pun mengangkat kedua benda yang ku bawa tadi. ”Ini namanya klinometer dan ini meteran. Ayo, silahkan pergi ke lua..”
Belum selesai ku mengucapkan kata keluar, si Udin sudah berlari ke luar kelas lalu diikuti oleh teman-temannya. Aku hanya menggeleng-gelengkan kepala.
Setelah anak terakhir keluar aku pun berjalan mengikuti mereka dengan santai sambil menundukkan kepala. Namun, kesantaian itu seketika berubah menjadi kekagetan yang luar biasa. Ketika ku tegakkan kepala dan melihat ke tiang bendera, aku terkejut bukan kepalang.
”Mati aku”. Segera aku berlari menuju tiang bendera. Disitu sudah ada seorang anak yang telah memanjat seperempat tiang bendera.
Dengan terengah-engah aku menegur si anak, ternyata si Udin
”hhh... o..... kamu ya Din. Kamu ngapain? Turun sini. Bahaya tau”
”Lho, katanya kan mau ukur tinggi. Jadi saya panjat aja ke atas. Pak, sini meterannya. Biar saya bawa ke atas sekalian”
”Masya Allah. Kalau kamu mau ukur seperti itu. Mendingan baut tiang ini kita cabut dan kita rebahkan tiangnya. Ayo turun!!”
”Adu....h, Bapak ini gimana sih. Katanya mau mengukur tinggi. Klo tiangnya kita rebahkan Pa..... yang kita ukur itu jadinya panjang tiang bendera, bukan tingginya.” Si Udin menjawab dengan sekenanya tanpa rasa bersalah
”???!!x#$%#$@” aku tak mampu lagi menjawab pikiran si Udin. Dalam hatiku hanya berkata ”benar juga ya....”
”Sudah. Turun sini. Kan sudah saya sampaikan kalau kita akan mengukurnya dengan bantuan alat ini”
***

Cukup ya ceritanya karena poin pentingnya sudah disampaikan. Poin pentingnya adalah seorang guru yang menganggap dua istilah sama karena baik saat tegak atau pun berebah memiliki panjang yang sama. Namun, terkadang bagi siswa dua istilah itu berbeda. Yah, seperti si Udin itu. Bagi dia, tinggi itu berbeda dengan panjang walaupun besaran panjangnya sama.
Hal ini pernah saya temui saat ajang perlombaan matematika di salah satu propinsi. Ketika itu seorang siswa Sekolah Dasar bertanya sebuah soal tertulis kepada Panitia. Soalnya kira-kira begini......
”Pak Amin memiliki sebuah kebun yang berbentuk trapesium sama kaki. Luas kebun itu adalah 10.000 m persegi. Jika jumlah panjang sisi kebun yang sejajar 25 m maka tingginya adalah..........”
Setelah membaca soal ini si anak berinisiatif bertanya kepada panitia.
“Ka… soal ini aneh.”
“Aneh. Maksudnya aneh?” si panitia balik bertanya karena heran.
”Masa sih kebun punya tinggi.” jawab si anak bernada protes.
Mendengar protes si anak, si panitia hanya bengong lalu mempersilahkan si anak kembali duduk dan kemudian ia berlari menuju ruang panitia untuk bertanya.

*** Lho.... ko aku cerita lagi sih..... (bisa-bisa habis nih perbendaharaan artikel)

Jadi dengan artikel ini saya hanya mengajak kepada para pencinta matematika terutama para guru untuk memperhatikan istilah yang digunakan saat mengajar matematika. Pikirkan dengan baik istilah yang akan digunakan, dan berusahalah agar tetap kontekstual sehingga sesuai dengan bayangan si anak.

Bagaimana? Apakah anda setuju dengan ajakan saya....... atau pernahkah anda mengalami hal serupa? Jika ya, tuliskan dong di kolom komentar. Saya akan dengan senang hati menambah pengalaman anda di artikel ini atau mungkin pada artikel yang baru.

Apakah 0,9999999… merupakan bilangan bulat?

2009-01-26T13:54:00.001+07:00

Setelah dari pasar membeli ikan dan sayuran, saya dan 4 teman kos berkumpul di dapur untuk membuat sarapan. Saat bersama di dapur muncul diskusi dan perdebatan tentang berbagai konsep matematika. Salah satunya tentang 0,9999999...

Awalnya salah satu teman melemparkan sebuah pendapat bahwa antara dua bilangan rasional pasti ada sebuah bilangan rasional. Berapapun kedua bilangan itu.

Kemudian salah satu temanku bertanya.....”apakah antara 0,9999999... dan 1 terdapat sebuah bilangan rasional?

Temanku itu jadi terdiam. Tapi bukan diam biasa melainkan berpikir keras.

Aku yang tadinya cuma memotong-motong sayur jadi berhenti karena tertarik pada topik diskusi di atas. Lalu aku bertanya, ”apakah 0,9999999... itu kurang dari 1?” Kemudian aku melanjutkan...........

”secara teoritis, kita dapat mengubah 0,9999999... menjadi 1 melalui cara merasionalkan.”

Aku diam sejenak.....

”misalkan x = 0,9999999... lalu kedua ruas dikalikan 10 sehingga menjadi 10x = 9,9999999. Jika 10x – x maka hasilnya adalah 9,9999999...-0,9999999...= 9,0000000...= 9. Artinya 9x = 9 sehingga x = 1. Hasil akhir menunjukkan bahwa 0,9999999... = 1”

Temanku yang lain menimpali, ”kalau begitu 0,9999999... itu bilangan bulat dong?”

Temanku yang melontarkan teori tadi mengatakan ”iya ya, kok bisa?” Kami semua jadi diam lalu tiba-tiba tertawa bersama.

”Ha....ha..., jd pusing nih”

Begitulah ceritanya pembaca. Intuisi ku sendiri sampai sekarang belum bisa menerima kalau 0,9999999... = 1. Tapi secara teoritis dapat dibuktikan kesamaannya.

Betul nggak sih? Bagaimana pembaca, menurut anda apakah 0,9999999... bilangan bulat? Berikan opininya ya...

PENGGUNAAN ISTILAH DALAM RUMUS VOLUME PRISMA YANG DAPAT MEMBINGUNGKAN SISWA

2009-01-21T12:39:00.005+07:00

Fenomena siswa tidak memahami materi matematika dengan baik bukan hanya disebabkan sulitnya materi matematika. Terkadang ketidakpahaman itu juga terjadi juga karena istilah-istilah yang digunakan menyimpang dari kehidupan sehari-hari.

Istilah yang menyimpang dari kehidupan sehari-hari misalnya dalam materi Volume Prisma. Dalam buku-buku pelajaran matematika, biasanya dituliskan rumus volume prisma seperti berikut ini:

Volume Prisma = Luas alas x tinggi

Jadi, penggunaan rumus volume prisma untuk menghitung volume prisma segitiga di bawah ini adalah sebagai berikut.

Volume = Luas alas x tinggi = Luas segitiga ABC x AD

Penggunaan rumus untuk perhitungan di atas tidak bermasalah bagi siswa karena sesuai dengan kehidupan sehari-hari. Segitiga ABC merupakan alas prisma dan AD merupakan tingginya.

Permasalahan akan terjadi jika bangunnya direbahkan.

Untuk menghitung volume prisma di atas, maka yang dijadikan sebagai alas adalah segitiga ABC atau segitiga DEF. Wuih, anehkan! Entah sejak kapan istilah alas digunakan untuk menyatakan sesuatu yang tidak terletak di dasar bangun.

Lebih-lebih lagi untuk tinggi prisma. Untuk menghitung volume prisma, maka yang merupakan tingginya adalah AD atau BE, atau CF. Aneh lagi kan! tinggi ko mendatar.

Kalau kita lihat pada bangun prisma di atas, seharusnya yang dikatakan alas adalah segiempat ACFD. Begitu pula tinggi, seharusnya yang memenuhi adalah AB. Membingungkan bukan! Wajar saja kalau siswa keliru menghitung volume bangun prisma.

Inilah yang saya maksud adanya penyimpangan istilah-istilah matematika dengan kehidupan sehari-hari. Kalau ini dibiarkan maka lama-kelamaan akan membuat siswa merasa matematika tidak sesuai dengan kehidupan sehari-hari. Tentunya ini tidak kita inginkan bukan...........

Nah, setujukan anda dengan saya? Kalau ya, kira-kira istilah apa ya yang tepat untuk digunakan dalam rumus volume prisma? Saya harap para pembaca mau menyumbangkan pemikirannya.

Tantangan: Uji penalaran matematika anda

2009-01-21T12:05:00.008+07:00

Tulisan-tulisan di blog ini sebelumnya telah membahas tentang dorongan penggunaan penalaran dalam memecahkan soal. Nah, berikut ini dicantumkan sebuah soal yang dapat diselesaikan dengan penalaran serta tidak melibatkan perhitungan yang rumit. Ingat, cobalah untuk memanfaatkan nalar anda. Hindari langkah-langkah algoritma yang menjemukan.

Berikut ini adalah kombinasi mobil-mobil mainan (mobil lucu dan mobil balap) disertai total harganya:

total harga: Rp. 137.000,00

total harga: Rp. 134.000,00

Berapakah total harga yang harus dibayar jika terdiri dari 4 mobil balap?

Ingat, gunakan penalaran anda. Tidak perlu memakai lambang x, y, atau lainnya. Lepaskan pikiran anda dari algoritma.

Selamat bernalar. Saya tunggu ya jawabannya disertai nalarnya. Saya yakin orang lain akan terkejut melihat penalaran anda.

Level pertanyaan untuk mendorong penalaran siswa

2009-01-20T12:33:00.003+07:00

Untuk meningkatkan kemampuan penalaran siswa, seyogyanya guru tidak hanya memberikan pertanyaan-pertanyaan kepada siswa yang bersifat mengingat kembali tentang sesuatu atau prosedur matematika (pertanyaan yang levelnya rendah). Melainkan juga seharusnya melontarkan pertanyaan-pertanyaan yang mendorong siswa untuk berpikir, bernalar dan menjelaskan pengetahuannya (pertanyaan yang levelnya tinggi).

Misal pertanyaan yang levelnya rendah seperti berikut:

“apakah nama dari bangun ruang ini (sambil menunjukkan benda atau gambar bangun ruang)?”.

Pertanyaan di atas hanya menguji kemampuan ingatan siswa. Coba anda bandingkan dengan pertanyaan ini:

”Bagaimanakah kamu menjelaskan bentuk bangun ruang ini kepada temanmu melalui sebuah telpon sehingga temanmu dapat menggambarkannya kembali dengan benar?”.

Pertanyaan di atas akan mendorong siswa untuk menjelaskan pengetahuannya sehingga tidak hanya sekedar menyebutkan nama tetapi juga meningkatkan penalaran ruangnya.

Perhatikan juga pertanyaan berlevel rendah berikut ini:

”Berapakah hasil dari 8 x 3?”

Coba anda bandingkan dengan pertanyaan ini:

”Sebutkan dua bilangan yang jika dikalikan maka hasilnya sama dengan 24?”

Pertanyaan di atas tidak hanya sekedar menguji pengetahuan tentang hasil dari 8 x 3 tetapi akan mendorong siswa berpikir tentang dua bilangan lainnya sehingga penalarannya makin kaya. Atau pertanyaan yang lebih tinggi:

”Seandainya kamu mengetahui perkalian dari 1 x 3 hingga 5 x 3. Kemudian kamu lupa berapa hasil perkalian dari 8 x 3. Bagaimanakah caramu untuk menemukan hasilnya?”

Bagaimana menurut anda pertanyaan di atas?..............................

Bagi guru yang ingin membangun penalaran matematika siswa maka cobalah untuk memberi pertanyaan-pertanyaan yang tidak hanya berlevel rendah tetapi juga berlevel tinggi. Pertanyaan yang berlevel rendah untuk sekedar menguji ingatan siswa sedangkan pertanyaan yang berlevel tinggi untuk mengetahui lebih dalam tentang pengetahuan dan penalarannya.

Apakah anda setuju dengan pernyataan saya?

Mungkin anda memiliki pertanyaan-pertanyaan lain yang levelnya tinggi? Silahkan tuliskan pada komentar anda. Pertanyaan-pertanyaan itu akan memperkaya tulisan ini. Sebelumnya saya ucapkan terima kasih......

OPEN ENDED (soal alternatif untuk pelajaran matematika)

2009-01-18T15:07:00.007+07:00

Saat ini, pentingnya matematika untuk pengembangan proses berpikir dan bernalar tidak diiringi dengan usaha untuk memberikan pemahaman yang baik kepada siswa tentang apa itu matematika. Banyak siswa yang menganggap bahwa matematika itu adalah kumpulan perhitungan angka-angka dan aturan-aturan yang harus dimengerti (Walle, 2006). Adanya anggapan matematika sebagai ilmu yang didominasi oleh perhitungan angka-angka dan aturan-aturan untuk memperoleh hasil yang benar, menyebabkan siswa menganggap bahwa matematika itu adalah mata pelajaran yang kaku (harus sesuai, tidak boleh menyimpang).

Al-Jupri (2007) mengemukakan bahwa pemahaman yang keliru tentang matematika itu kaku dan prosedural terjadi salah satunya disebabkan oleh soal-soal dalam matematika sekolah. Soal-soal itu kebanyakan bersifat tertutup (closed ended). Permasalahan atau soal yang sifatnya tertutup (closed ended) menurut Suherman, dkk (2003), adalah permasalahan yang telah diformulasikan dengan baik dan lengkap sehingga bersifat unik (hanya ada satu solusi). Sejalan dengan pendapat ini, Cooney, dkk (tt) mengemukakan bahwa soal bersifat tertutup karena jawaban yang diinginkan telah ditetapkan sebelumnya dan spesifik. Selain itu, Yee (tanpa tahun) juga mengemukakan bahwa soal tertutup adalah soal yang telah terstruktur dengan lengkap dan memiliki satu jawaban benar serta dikerjakan dengan suatu cara (aturan) yang sudah baku. Berdasarkan pernyataan-pernyataan ini, orientasi dari soal-soal closed ended problem adalah jawaban akhir yang tunggal dan dikerjakan dengan sebuah prosedur yang baku.

Orientasi pada jawaban akhir dan sebuah penyelesaian yang baku membuat siswa menghargai aturan-aturan atau rumus-rumus matematika, namun sebenarnya menjauhkan mereka dari matematika sebagai pengembangan proses berpikir. Soal ”tradisional” seperti ini membuat siswa menghargai belajar aturan tetapi memberi sedikit kesempatan kepada mereka untuk bagaimana berpikir dalam mengerjakan matematika. Akibatnya, Walle (2006) mengemukakan bahwa hanya sedikit anak yang berhasil belajar aturan-aturan dan memperoleh nilai yang baik, tetapi mereka bukanlah pemikir yang baik.

Untuk melibatkan proses berpikir, seharusnya semua soal-soal dalam pelajaran matematika tidak hanya bersifat tertutup melainkan juga bersifat terbuka. Permasalahan ini disebut juga open ended problem (question). Pada soal open ended, jawaban yang benar dapat lebih dari satu dan strategi atau metode penyelesaiannya pun lebih dari satu karena bergantung pada hasil pemikiran dan penalaran siswa. Inilah kelebihan soal open ended dibanding soal closed ended. Pada soal open ended, siswa diperbolehkan untuk mengungkapkan pemikirannya (Cooney, dkk; tt), tidak terlalu berorientasi pada jawaban akhir melainkan diorientasikan pada bagaimana memperoleh jawabannya (Suherman, dkk; 2003), dan melatih siswa untuk menggunakan penalaran dan kreativitas berpikir (Al-Jupri, 2007).

Hua ha ha ............ ha. Bahasanya formal banget. Maaf ya......... habisnya bingung mau mengubah ke bahasa yang lebih santai.......

Ingin tahu lebih banyak tentang apa itu soal open ended. Nih, daftar bacaan /blog yang aku jadikan referensi. Beberapa bacaan yang berasal dari internet aku sertakan dengan link nya.

Walle, John A. 2008. Matematika Sekolah Dasar dan Menengah: Pengembangan Pengajaran. Jilid 1. Edisi Keenam. Jakarta: Penerbit Erlangga.

Jupri, Al. 2007 Open Ended Problems dalam Matematika. http://mathematicse.wordpress.com/2007/12/25/open-ended-problems-dalam-matematika. Klik disini.........

Suherman, Erman; dkk. 2003. Strategi Pembelajaran Matematika Kontemporer. Universitas Pendidikan Indonesia: Bandung.

Cooney, Thomas J.; dkk. Tanpa tahun. The Nature of Open-Ended Questions. http://books.heinemann.com/math/nature.cfm. Klik disini.......

Ini bisa didownload (diunduh)

Capraro, Mary Margaret; dkk. Tanpa tahun. What are students thinking as they solve open-ended mathematics problems?. Mau download, klik disini.......

Yee, Foong Pui. Tanpa Tahun. Using Short Open-ended Mathematics Questions to Promote Thinking and Understanding. National Institute of Education, Singapore. Mau download, klik disini.......

Yeo, Joseph B.W. 2007. Mathematical Tasks: Clarification, Classification and Choice of Suitable Tasks for Different Types of Learning and Assessment. National Institute of Education, Nanyang Technological University. Mau download, klik disini ..................

TRIK CEPAT MENYELESAIKAN SOAL MATEMATIKA

2009-01-18T13:56:00.007+07:00

(Algoritma yang tetap dapat terlupakan)

Baru-baru saja aku menonton tayangan televisi di sebuah stasiun televisi swasta. Tayangan itu cukup menarik karena membahas trik cepat mengerjakan soal-soal ujian matematika tentang materi perbandingan. Namun saat pembahasan dengan trik cepat aku malah tertawa keras. Saking kerasnya membuat salah seorang teman kos ku terkejut dan sehingga dia tertarik ikut menonton. Dan tahukah kamu apa yang terjadi? Dia juga ikut tertawa. Hua...ha...ha...ha.... Mau tau ceritanya?

Begini ceritanya. Pada jaman dahulu kala ........... (alah.....jadi ngawur. Sorry)

Ada soal seperti ini (kira-kira aja ya kata-katanya, lupa. Tapi konsepnya tetap diusahakan sama)

2 orang pekerja mampu menyelesaikan suatu proyek selama 12 hari. Jika pekerjanya ditambah 6 orang, berapa lama proyek itu selesai?

Penyelesaiannya dengan cara biasa seperti ini.

Diketahui :

n1 = 2 orang

t1 = 12 hari

n2 = 2 + 6 = 8 orang

Tanya : n2 (waktu yang diperlukan setelah ditambah pekerjanya)?

Jawab. Karena semakin banyak pekerja maka waktu yang dihabiskan makin sedikit maka hal ini merupakan perbandingan terbalik. (ciri-cirinya perbandingan terbalik adalah jika variabel x semakin naik tetapi variabel y semakin turun).

Kalau begitu maka perkalian pasangan masing-masing komponen akan menghasilkan konstanta yang sama. Artinya:

Jadi, perlu waktu sebanyak 3 hari.

Nah, setelah itu muncul ungkapan:

Bukan SAYA (maaf nama tayangan dirahasiakan) kalau tidak ada trik cepatnya. Begini caranya:

Karena ini perbandingan terbalik, maka

Hebat bukan? Cuma satu baris (dengan bangganya dia tertawa).

Melihat trik cepat ini, kontan saja saya tertawa. Ini kan cara yang sama seperti cara sebelumnya, hanya beberapa langkah dihilangkan. Coba perhatikan langkah kedua pada cara sebelumnya. Kalau 8 kita pindahkan pakai kali silang*, maka 8 kan berada di bawah. Jadinya sama dengan cara di atas. Cara pertama terlihat panjang karena urutan pekerjaan diperlihatkan. Kemudian teknik pindah silang baru dijalankan pada langkah ke empat.

Hua...ha...ha.... lucu kan (mudah-mudahan anda juga merasa lucu).

Kalau anda merasa lucu, maka seharusnya anda tertawa juga pada hampir semua trik cepat yang ada sekarang ini. Hampir semuanya memiliki karakteristik seperti di atas. Trik cepat biasanya merupakan cara yang panjang tetapi beberapa baris dihilangkan. Lalu cara cepat itu ditulis dengan rumus tersendiri yang sepertinya terpisah dari rumus sebenarnya (coba aja kita mau tekun, maka kita dapat menemukan semua cara atau trik cepat melalui penurunan rumus sebenarnya).

Terlepas dari itu semua, jika kita perhatikan dengan seksama baik menggunakan rumus sebenarnya maupun trik cepat, maka keduanya merupakan suatu algoritma. Dikatakan algoritma karena adanya urutan langkah-langkah tertentu dalam mengerjakan. Nah, kalau lupa pada langkahnya, matilah kita. Pasti kita tidak mampu mengerjakannya. Apalagi untuk trik cepat karena lain soal lain pula trik cepatnya. Artinya, jauh lebih banyak menghapal trik cepat dibandingkan hanya menghapal rumusnya. Sekali lagi, kalau lupa cara cepatnya atau karakteristik soalnya, Matilah kita. (weleh...weleh.... matinya dua kali. Mungkin karena ini ya plesetan kata matematika adalah mati-matian)

Kalau seandainya pembelajaran matematika tidak menitikberatkan pada rumus dan urutan-urutan langkah penggunaan melainkan pada berpikir dan bernalar kreatif siswa, maka hal ini tidak perlu terjadi. Siswa tidak perlu banyak menghapal karena mampu berpikir dan bernalar sendiri untuk menyelesaikan soal. Artinya siswa dibebaskan untuk menentukan penyelesaian berdasarkan pemikiran dan penalarannya sendiri. Coba perhatikan contoh soal di atas, kita akan menyelesaikannya dengan logika.

”Kalau 2 orang selesainya 12 hari, maka kalau pekerja menjadi 4 orang selesainya menjadi 6 hari. Ya kan.... nah kalau 4 orang selesainya 6 hari maka tentunya kalau pekerjanya menjadi 8 orang, berarti selesainya menjadi 3 hari”. Selesai bukan. Pakai nalar aja bisa kok.

Coba juga persoalan berikut.

Andi memandang dari jendela sebuah taman dekat rumahnya. Dia melihat bahwa masing-masing orang di taman membawa seekor anjing piaraannya. Setelah itu dia menghitung banyaknya semua kaki di taman itu dan ternyata ada 54 buah. Berapa banyaknya anjing peliharaan yang ada di taman?

Hayo, bagaimana mengerjakannya. Pasti di antara anda sudah keluar tuh lambang-lambang x dan y. Ya kan? Lalu karena manusia punya dua kaki dan anjing punya empat kaki pasti ada yang memikirkan 2x + 4y = 54. benar kan? Nah, sekarang bagaimana persamaan lainnya????.............

Kalau anda memikirkan cara di atas, maka kalau boleh saya katakan di kepala anda sudah tertanam algoritma yang kuat. Jika anda menemukan persamaan satunya maka anda dapat menyelesaikannya dengan teknik substitusi atau teknik lainnya. Tapi kalau tidak, apa yang terjadi?

Sebenarnya kalau kita mau berpikir dan bernalar kreatif, maka kita dapat menggunakan logika saja. Misalnya seperti ini......

Manusia punya 2 kaki

Seekor anjing punya 4 kaki

Satu pasang (manusia dan anjing peliharaan) totalnya 6 kaki. Karena terdapat 54 kaki berarti ada 9 pasang.

Jadi ada 9 ekor anjing peliharaan.

Selesai. tanpa ada rumus-rumus yang bikin ribet.

Jika kita mau menggunakan logika yang diwujudkandalam berpikir dan bernalar maka hampir semua permasalahan dapat kita selesaikan. Terutama permasalahan yang berkaitan dengan kehidupan sehari-hari. Bukan kah untuk menyelesaikan masalah yang dihadapi kita menyelesaikannya dengan logika dan berpikir, bukannya dengan rumus-rumus yang njelimet?

Bebaskan para siswa berpikir dan bernalar. Biarkan kedua komponen itu berkembang dengan baik dalam diri siswa. Karena keduanya diperlukan oleh siswa untuk menghadapi kehidupan.

*) teknik perhitungan memindahkan bilangan dalam perhitungan baik dari ruas kiri ke kanan atau sebaliknya adalah teknik yang tidak sesuai konsep matematika. Seperti perkalian silang sehingga bagi jadi kali. Atau pada penjumlahan, seperti yang tadinya positif jadi negatif.

TIDAK PERNAH ADA OPERASI 0/0 DALAM LIMIT

2009-01-17T17:21:00.010+07:00

Kita mengetahui bahwa memberikan hasil yang tidak terdefinisi. Tapi jika kita menyelesaikan persoalan limit, sepertinya kita melakukan operasi . Contohnya dalam kasus berikut:

Pada kasus di atas, untuk x -> 3, kita diperkenankan mencoret (x – 3) yang sepertinya memberi kesan diperbolehkannya . Benarkah demikian?

***
Melalui cerita di bawah ini mudah-mudahan kita dapat memahami alasannya.

Anak-anak yang hidup di perkotaan biasanya sulit menemukan tanah lapang tempat bermain layangan. Oleh karena itu mereka biasanya menjadikan atap rumah sebagai tempat bermain layangan.

Pada saat aku masih berstatus siswa SMP, aku dan teman-temanku sering bermain layangan di atas sebuah rumah kosong. Rumah kosong tersebut sudah tua dan banyak kerusakan karena lama ditinggalkan dan tidak dirawat oleh pemiliknya. Kerusakan itu tidak hanya pada bagian dalam tetapi juga pada atapnya. Ada sebuah lubang yang cukup besar dan jika tidak berhati-hati maka kami akan jatuh terperosok ke dalam. Maklum, besarnya diameter lubang melebihi dua kali besarnya diameter tubuh kami.

Suatu hari pamanku ikut bermain di atap rumah kosong tersebut. Saat asyik bermain, tiba-tiba pamanku memberikan sebuah sayembara. Hadiahnya juga tidak tanggung-tanggung dan cukup wah bagi kami yang saat itu ada tiga orang. Mau tahu? Sebuah coklat silverqueen yang gede.

”Kalian mau coklat ini?” pamanku berbicara sambil menunjukkan sebuah coklat silverqueen yang gede dan masih terbungkus rapi dalam kemasannya.

Sambil meneguk liur tanda ngiler kami serempak menjawab, ”mau”.

”Tapi ada syaratnya” terang paman sambil menyembunyikan coklatnya.

”Apa syaratnya?” tanyaku sambil mengerenyitkan dahi.

Pamanku tak segera menjawab dan hanya tersenyum.

”Apa syaratnya pama....n?” salah satu temanku ikut mendesak paman. Terang saja kami terus mendesak karena takut kalau pamanku menarik keputusannya.

”Begini. Kalian lihat lubang besar itu” jawab paman sambil melemparkan pandangan ke lubang dan menunjuknya dengan bibir.

”mmmh. Ko mulut dijadikan penunjuk sih, bukannya jari telunjuk. Seperti ikan lohan jadinya” kataku dalam hati tapi tak berani ketawa. Takut tersinggung. Kedua temanku pun tersenyum tertahan.

Kemudian kami bersama memandang lubang yang dimaksud pamanku.
”Kalau kalian dapat tepat berdiri di atas lubang itu dan tidak terjatuh ke dalamnya maka coklat ini akan aku berikan” lanjut pamanku.

”Begitu. Kami boleh bekerjasama kan?” tanya temanku

”Boleh” jawab pamanku sambil mengangguk.

Kami bertiga bergegas bergerak menuju lubang. Kami bekerjasama berusaha agar berdiri di atas lubang tapi tidak masuk ke dalam. Namun, dari arah manapun kami mendekati lubang tetap saja kami tidak bisa. Ya, yang dapat kami lakukan hanya mendekati lubang sekeras apapun kami bekerja sama. Entah itu saling berpegangan dan sebagainya.

Yah. Seperti peribahasa bagai punguk merindukan bulan, kami pun tidak mendapatkan coklat itu. Hanya mampu berimajinasi saja.
***
Penggalan cerita di atas dapat kita ibaratkan dengan limit. Jika lubang diibaratkan sebagai 3, maka yang dikatakan x mendekati 3 (lambangnya x->3) adalah seperti anak-anak tersebut yang bergerak mendekati lubang. Mereka hanya mampu mendekati lubang tanpa pernah dapat berdiri di atas lubang.

Jadi, yang dimaksud dengan x -> 3 adalah x hanya semakin mendekati 3 baik dari kiri maupun kanan tetapi tidak pernah mencapai 3. Artinya tidak akan pernah x = 3.

Oleh karena itu, jika x -> 3 (x hanya mendekati 3) maka (x – 3) tidak akan pernah sama dengan 0. Ini artinya melakukan operasi diperbolehkan karena tidak sama dengan .

Nah, sekarang sudah tahu kan alasannya.

ALGORITMA BERBAHAYA BAGI PENALARAN SISWA

2009-01-17T17:00:00.004+07:00

Fenomena maraknya kemunculan cara-cara cepat untuk menyelesaikan soal-soal matematika menimbulkan pro dan kontra di kalangan masyarakat. Pendapat yang kontra biasanya dari kalangan pendidik matematika yang memegang teguh akan pentingnya konsep. Mereka menyatakan bahwa sebenarnya cara cepat merupakan pembodohan bagi siswa. Dikatakan pembodohan karena cara cepat menghilangkan konsep-konsep matematika. Padahal konsep-konsep itu diperlukan oleh siswa untuk mempelajari materi matematika di jenjang selanjutnya.

Sedangkan yang pro terhadap cara cepat menyatakan bahwa kebanyakan siswa tidak memahami dengan baik matematika. Begitu banyak rumus yang perlu siswa hapal dan sulitnya bagi mereka memahami langkah-langkah penggunaannya. Kalau dibiarkan maka dapat dipastikan nilai ujian mereka rendah.

Terlepas dari kedua pendapat di atas, kita menyadari bahwa konsep matematika itu penting namun pembelajarannya di sekolah saat ini lebih banyak menekankan pada rumus dan urutan langkah pengerjaan (algoritma). Siswa-siswa kebanyakan hanya diajarkan untuk mengingat rumus dan menggunakannya dalam urutan langkah-langkah yang harus diikuti. Mungkin kalau pembaca pernah mengenyam matematika di sekolah tentunya pernah mengalami dan merasakannya. Ingat rumus dan ingat langkah menggunakannya.

Seharusnya, mengajarkan matematika dengan algoritma tidak sepenuhnya diterapkan kepada siswa. Algoritma membahayakan bagi pengembangan pemikiran dan penalaran perhitungan seorang anak. Bahkan yang lebih parah lagi, algoritma akan terus mengekang seorang anak. Artinya anak tidak akan bisa lepas dari algoritma yang telah diajarkan.

Mungkin pembaca dapat merasakan pada dirinya sendiri. Setelah kita belajar matematika biasanya dilanjutkan mengerjakan soal. Untuk menyelesaikan soal, pasti kita berupaya mengikuti langkah-langkah yang telah diajarkan oleh guru. Benar gak? Kalau iya itu artinya nalar kita tidak jalan karena hanya mengikuti apa yang telah diajarkan. Kalaupun kita bernalar, pasti kita tidak bisa melepaskan diri dari langkah-langkah yang diberikan oleh guru. Akibat yang paling sering kita rasakan, kalau kita mengalami kebuntuan mengerjakan soal maka biasanya kebanyakan dari kita menyerah karena tidak tahu apa yang harus dilakukan.

Tidak jalannya nalar kita juga tercermin saat lupa suatu rumus. Saat itu terjadi maka yang kita lakukan biasanya berusaha mengingat-ingat rumusnya, bukannya berusaha mencoba memikirkan dan bernalar bagaimana menyelesaikan soal. Sekali lagi, benar kan?. Disinilah letak bahayanya. Algoritma membelenggu penalaran seorang anak.

Pembelengguan penalaran inilah yang juga memunculkan pendapat kebanyakan orang bahwa sepertinya matematika itu lepas dari kehidupan. Pendapat ini terjadi karena kita sangat jarang menyelesaikan permasalahan dengan rumus atau harus dengan urutan langkah tertentu. Wajarkan pendapat seperti ini?

Oleh karena itu sudah sepantasnya paradigma pembelajaran matematika di sekolah diubah. Dari paradigma pembelajaran matematika yang menekankan hanya mengajarkan rumus dan langkah cara mengerjakan soal ke paradigma pembelajaran yang menekankan pada aspek penalaran siswa. Yaitu paradigma pembelajaran yang menghubungkan matematika dengan masalah-masalah kehidupan sehari-hari dan membebaskan siswa mengajukan penyelesaian masalah dengan caranya sendiri. Diharapkan dengan paradigma seperti ini maka siswa mampu menerapkan penalaran matematika dalam kehidupannya dan jika mengalami kelupaan pada saat mengerjakan soal maka nalarnya tetap jalan.

BENARKAH 1 = 2

2009-01-15T09:00:00.009+07:00

Ada beberapa operasi di matematika yang melibatkan bilangan-bilangan tertentu memberikan hasil yang tidak dapat didefinisikan. Hal ini dilakukan agar tidak terjadi ketidak-konsistenan di dalam matematika. Coba perhatikan ini:

0 = 0

cukup jelas

(1) a^2 - a^2 = a^2 - a^2

bolehkan karena a^2 – a^2 = 0 (tanda ^ dibaca pangkat)

(2) a (a – a) = (a + a) (a – a)

ingat pemfaktoran dan identitas a^2 - b^2 = [a + b] [a – b]

(3) a = a + a

karena kedua ruas punya faktor (a – a) maka
dapat dicoret atau dihilangkan dari keduanya.

(4) a = 2a

(5) 1 = 2

karena kedua ruas punya faktor a
maka dicoret atau dihilangkan dari keduanya.

Nah, lho..... ko 1 = 2? Aneh kan. Terjadinya penyimpangan pada hasil dikarenakan pada langkah-langkah di atas terdapat operasi yang menyimpang. Apakah itu? Pada langkah ke berapa? Silahkan pembaca berusaha menemukannya sendiri terlebih dulu.

Kritik dan saran membangun dibutuhkan oleh penulis melalui komentar.

Terima kasih.
Salam.

Hati-hati Menerapkan Sifat Komutatif dalam Kehidupan

2009-01-14T15:05:00.003+07:00

Pagi hari ini, aku dan temanku bersiap-siap pergi ke pasar. Setelah ku buka pintu di pagi hari, secara tiba-tiba menyeruak udara pagi yang berhembus sepoi-sepoi dan beraroma khas. Aroma yang menandakan udara segar.

Kami pun keluar bersama-sama untuk pergi ke pasar membeli sayur-sayuran dan ikan segar untuk dimasak. Maklum, kami berdua sama-sama anak kos. Semua harus dilakukan sendiri

***

Kembali dari pasar, aku ditugaskan untuk mencuci dan memotong sayur. Kebetulan sayur yang kami beli adalah sayur Sawi. Aku pun bergegas mengambil pisau untuk memotong-motong sayur.

Tanpa dicuci sayur-sayur tersebut langsung dipotong-potong. Aku tidak mencucinya terlebih dulu karena ku pikir dapat dilakukan kemudian. Toh, dicuci dulu baru dipotong atau dipotong dulu baru dicuci kan sama saja hasilnya. Sama-sama bersih. Komutatif gitu lho.

Ketika hampir setengah pekerjaanku rampung, tiba-tiba temanku menegur.

”Kok, sayurnya tidak dicuci dulu?”

”Nanti pak, setelah dipotong. Toh sama saja. Sama-sama bersih. Komutatif kan”

Sambil mengkerutkan dahinya, ”Komutatif? Ya betul komutatif. Tapi makna bersihnya berbeda”

”Maksudnya????”, sekarang gantian dahiku yang berkerut.

”Begini. Kita membersihkan sayur dengan air adalah untuk menghilangkan pestisidanya kan?”

”Iya”, jawabku sambil mengangguk.

”Nah, kalau kita potong dulu baru dicuci, maka ada kemungkinan air tersebut membawa pestisida masuk ke pori-pori sayur yang telah terbuka. Sedangkan kalau dicuci dulu, maka air yang membawa pestisida tidak dapat masuk ke pori-pori sayur karena belum terbuka. Jadi, aman untuk dimakan. Paham?”

”O..... begitu ya” aku mengangguk tanda mengerti. ”Jadi, walaupun kedua proses sama-sama menghasilkan sayur yang terlihat bersih dipermukaan tetapi sebenarnya memiliki makna bersih yang berbeda”........

***

Penggalan cerita di atas hanya menunjukkan bahwa suatu urutan proses pekerjaan, yang walaupun boleh dibolak-balik dan diperoleh hasil yang sama, belum tentu maknanya berbeda. Begitu pula dalam matematika, yang terkait dengan sifat komutatif.

Seperti kita ketahui, sifat komutatif berlaku dalam perkalian. Artinya, dua bilangan yang kita kalikan, walaupun kita tukarkan tempatnya maka akan tetap menghasilkan bilangan yang sama. Contohnya,

5 x 3 = 3 x 5 = 15

2 x 8 = 8 x 2 = 16

3 x 1 = 1 x 3 = 3

Walaupun hasilnya sama, tapi sebenarnya memberikan makna yang berbeda. Mengapa begitu?

Coba kita terapkan sifat ini pada kenyataan dalam kehidupan. Contohnya meminum obat sesuai resep dokter. Jika kita pernah mengalaminya, tentunya tahu arti dari perintah dokter seperti ini:

”Tolong, minum pil ini 3 x 1 sehari”

Perintah di atas artinya meminum obat tersebut harus 1 buah tiap waktunya, boleh 1 pil di pagi hari, 1 pil di siang hari, dan 1 pil di malam hari. Jadi, dalam satu hari 3 pil yang diminum.

Berdasarkan peristiwa di atas, apakah boleh diterapkan sifat komutatif? Yaitu 1 x 3 sehari. Jadi langsung 3 pil yang diminum. Toh hasilnya sama, sama-sama 3 pil dalam sehari. Tapi hasilnya bagaimana, pasti MATI karena OVERDOSIS.

Cerita di atas menunjukkan walaupun sifat komutatif memberikan hasil yang sama tetapi perlu diketahui bahwa maknanya atau prosesnya tetap berbeda. Kita tidak boleh menerapkan secara sembarangan sifat komutatif ini.

Ingat, hasil yang sama belum tentu memberikan makna yang sama.