Barisan yang menarik

Apa kabar wahai para pembaca? Aduh, maaf jika saya sudah lama tidak menemui anda. Terakhir hanya dua artikel yang dapat dimasukkan dalam blog ini. Baru dalam bulan november ini saya berkesempatan untuk menulis kembali. Mudah-mudahan tulisan ini dapat mengobati rasa rindu saya kepada para pembaca.
Mohon maaf juga saya sampaikan apabila saya tidak membalas semua komentar dan jawaban soal yang telah diungkapkan oleh pembaca.

Pada tulisan ini, saya mencoba untuk menyajikan suatu barisan yang cukup menarik dalam matematika. Barisan ini ada kaitannya dengan pernyataan kemungkinan ya atau tidak.

Penulis yakin bahwa para pembaca pernah melakukan mengambil keputusan berdasarkan kemungkinan yang muncul, atau paling tidak melihatnya di dunia nyata maupun di televisi. Pengambilan keputusan berdasarkan kemungkinan tersebut yang sederhana, misalnya, adalah mengambil keputusan ya atau tidak. Sering untuk memutuskan itu, seseorang menggunakan jari-jarinya. Misalnya dimulai dari jari kelingking tangan kiri, orang tersebut melafalkan ya, terus ke jari sebelahnya tidak, kemudian ya, dan seterusnya. Pelafalan ya atau tidak berhenti setelah jari-jari yang digunakan habis

(untuk membantu pelafalan, ada orang yang menggunakan jari-jari tangan kiri saja, ada yang kedua tangan. Kalau merasa kurang yakin, ada yang memakai jari-jari kaki juga. Kalau perlu, jari-jari teman sebanyak-banyaknya. Tetapi yang paling ekstrim memanfaatkan banyaknya rambut-rambut, seperti di kaki. Mungkin karena banyaknya rambut tidak dapat ditebak. Setiap waktu berbeda-beda karena ada yang tumbuh dan ada yang rontok.
Tapi ada enggak ya, orang yang menggunakan rambut di kepala?. Saya pikir sih tidak ada, karena mungkin dalam satu hari kita tidak dapat membilang banyaknya rambut satu-persatu. Jika ada yang mencoba, saya yakin pasti air liurnya kering deh. )
Lho, kok ngelantur sih. Ayo kita balik ke tulisan utama.

Setelah habis, pelafalan yang keluar itulah yang dijadikan keputusan. Kalau iya, dikerjakan. Kalau tidak, ditinggalkan.

Jika kita orang yang waras, tentu berpikir: ”Apakah benar keputusan kita”?. Untuk meninjau pertanyaan ini, penulis akan mencoba membawa pembaca untuk memasuki dunia matematika.

Andaikan dimisalkan keputusan ya adalah 1, dan keputusan tidak adalah -1. Kita akan memperoleh barisan
1, -1, 1, -1, 1, -1, 1, -1, ...
(Tanda 3 titik terakhir menunjukkan banyaknya suku barisan tak hingga dan polanya terus berulang.)
Hasil keputusan adalah penjumlahan suku-suku barisan ini. Coba kita jumlahkan suku-sukunya:

1 + -1 + 1 + -1 + 1 + -1 + ... = (1 + -1) + (1 + -1) + (1 + -1) + ...
= 0 + 0 + 0 + ...
= 0

Menariknya, jika kita sedikit mengubah cara menjumlahkan maka hasil yang kita peroleh berbeda.

1 + -1 + 1 + -1 + 1 + -1 + 1 + ... = 1 + (-1 + 1) + (-1 + 1) + (-1 + 1) + ...
= 1 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + ...
= 1

Yang lebih ekstrim lagi adalah sebagai berikut
Misalkan

S = 1 + -1 + 1 + -1 + 1 + -1 + 1 + ...
<-> S = 1 + (-1 + 1 + -1 + 1 + -1 + 1 + ...)
<-> S = 1 + -(1 + -1 + 1 + -1 + 1 + -1 + ...)
<-> S = 1 + -S
<-> 2S = 1
<-> S = ½

Lho, ternyata 1 + -1 + 1 + -1 + 1 + -1 + 1 + ... = ½

Apakah pembaca merasa aneh, atau bingung terhadap banyaknya hasil penjumlahan? Secara matematis, hal ini wajar terjadi. Deret dari barisan yang kita miliki adalah tergolong barisan yang divergen. Karena divergen, kita tidak akan dapat menebak pendekatan (limit) suku deret yang ke-tak hingga. Oleh karena itu wajar jika terjadi berbagai kemungkinan jawaban.

Nah, apakah pembaca dapat menebak maksud saya?
Ada hal filosofis yang dapat ditarik dari fenomena barisan ini, yaitu dari hasil penjumlahan suku-sukunya yang tidak konsisten, dapat 0, 1, atau ½. Filosofisnya adalah kita tidak dapat mempercayai begitu saja keputusan melalui percobaan kemungkinan ya atau tidak. Hasilnya akan diluar dugaan. Kalau kita beruntung, mungkin hasilnya baik bagi nasib kita. Tetapi bagaimana kalau buntung, apakah pembaca mau? Seharusnya pengambilan keputusan berdasarkan logika atau pikiran. Kita harus memperhitungkan kebermanfaatan yang diperoleh dan resiko yang harus ditempuh. Dengan perhitungan seperti ini, hasil yang kita peroleh pun dapat dipertanggung jawabkan.
Jadi, melalui artikel ini, penulis ingin mengajak pembaca untuk terlebih dulu berpikir dalam mengambil keputusan. Pembaca seyogyanya tidak mempertaruhkan masa depannya hanya pada keputusan ya atau tidak melalui bantuan jari.