TRIK CEPAT MENYELESAIKAN SOAL MATEMATIKA

(Algoritma yang tetap dapat terlupakan)

Baru-baru saja aku menonton tayangan televisi di sebuah stasiun televisi swasta. Tayangan itu cukup menarik karena membahas trik cepat mengerjakan soal-soal ujian matematika tentang materi perbandingan. Namun saat pembahasan dengan trik cepat aku malah tertawa keras. Saking kerasnya membuat salah seorang teman kos ku terkejut dan sehingga dia tertarik ikut menonton. Dan tahukah kamu apa yang terjadi? Dia juga ikut tertawa. Hua...ha...ha...ha.... Mau tau ceritanya?

Begini ceritanya. Pada jaman dahulu kala ........... (alah.....jadi ngawur. Sorry)

Ada soal seperti ini (kira-kira aja ya kata-katanya, lupa. Tapi konsepnya tetap diusahakan sama)

2 orang pekerja mampu menyelesaikan suatu proyek selama 12 hari. Jika pekerjanya ditambah 6 orang, berapa lama proyek itu selesai?

Penyelesaiannya dengan cara biasa seperti ini.

Diketahui :

n1 = 2 orang

t1 = 12 hari

n2 = 2 + 6 = 8 orang

Tanya : n2 (waktu yang diperlukan setelah ditambah pekerjanya)?

Jawab. Karena semakin banyak pekerja maka waktu yang dihabiskan makin sedikit maka hal ini merupakan perbandingan terbalik. (ciri-cirinya perbandingan terbalik adalah jika variabel x semakin naik tetapi variabel y semakin turun).

Kalau begitu maka perkalian pasangan masing-masing komponen akan menghasilkan konstanta yang sama. Artinya:

Jadi, perlu waktu sebanyak 3 hari.

Nah, setelah itu muncul ungkapan:

Bukan SAYA (maaf nama tayangan dirahasiakan) kalau tidak ada trik cepatnya. Begini caranya:

Karena ini perbandingan terbalik, maka

Hebat bukan? Cuma satu baris (dengan bangganya dia tertawa).

Melihat trik cepat ini, kontan saja saya tertawa. Ini kan cara yang sama seperti cara sebelumnya, hanya beberapa langkah dihilangkan. Coba perhatikan langkah kedua pada cara sebelumnya. Kalau 8 kita pindahkan pakai kali silang*, maka 8 kan berada di bawah. Jadinya sama dengan cara di atas. Cara pertama terlihat panjang karena urutan pekerjaan diperlihatkan. Kemudian teknik pindah silang baru dijalankan pada langkah ke empat.

Hua...ha...ha.... lucu kan (mudah-mudahan anda juga merasa lucu).

Kalau anda merasa lucu, maka seharusnya anda tertawa juga pada hampir semua trik cepat yang ada sekarang ini. Hampir semuanya memiliki karakteristik seperti di atas. Trik cepat biasanya merupakan cara yang panjang tetapi beberapa baris dihilangkan. Lalu cara cepat itu ditulis dengan rumus tersendiri yang sepertinya terpisah dari rumus sebenarnya (coba aja kita mau tekun, maka kita dapat menemukan semua cara atau trik cepat melalui penurunan rumus sebenarnya).

Terlepas dari itu semua, jika kita perhatikan dengan seksama baik menggunakan rumus sebenarnya maupun trik cepat, maka keduanya merupakan suatu algoritma. Dikatakan algoritma karena adanya urutan langkah-langkah tertentu dalam mengerjakan. Nah, kalau lupa pada langkahnya, matilah kita. Pasti kita tidak mampu mengerjakannya. Apalagi untuk trik cepat karena lain soal lain pula trik cepatnya. Artinya, jauh lebih banyak menghapal trik cepat dibandingkan hanya menghapal rumusnya. Sekali lagi, kalau lupa cara cepatnya atau karakteristik soalnya, Matilah kita. (weleh...weleh.... matinya dua kali. Mungkin karena ini ya plesetan kata matematika adalah mati-matian)

Kalau seandainya pembelajaran matematika tidak menitikberatkan pada rumus dan urutan-urutan langkah penggunaan melainkan pada berpikir dan bernalar kreatif siswa, maka hal ini tidak perlu terjadi. Siswa tidak perlu banyak menghapal karena mampu berpikir dan bernalar sendiri untuk menyelesaikan soal. Artinya siswa dibebaskan untuk menentukan penyelesaian berdasarkan pemikiran dan penalarannya sendiri. Coba perhatikan contoh soal di atas, kita akan menyelesaikannya dengan logika.

”Kalau 2 orang selesainya 12 hari, maka kalau pekerja menjadi 4 orang selesainya menjadi 6 hari. Ya kan.... nah kalau 4 orang selesainya 6 hari maka tentunya kalau pekerjanya menjadi 8 orang, berarti selesainya menjadi 3 hari”. Selesai bukan. Pakai nalar aja bisa kok.

Coba juga persoalan berikut.

Andi memandang dari jendela sebuah taman dekat rumahnya. Dia melihat bahwa masing-masing orang di taman membawa seekor anjing piaraannya. Setelah itu dia menghitung banyaknya semua kaki di taman itu dan ternyata ada 54 buah. Berapa banyaknya anjing peliharaan yang ada di taman?

Hayo, bagaimana mengerjakannya. Pasti di antara anda sudah keluar tuh lambang-lambang x dan y. Ya kan? Lalu karena manusia punya dua kaki dan anjing punya empat kaki pasti ada yang memikirkan 2x + 4y = 54. benar kan? Nah, sekarang bagaimana persamaan lainnya????.............

Kalau anda memikirkan cara di atas, maka kalau boleh saya katakan di kepala anda sudah tertanam algoritma yang kuat. Jika anda menemukan persamaan satunya maka anda dapat menyelesaikannya dengan teknik substitusi atau teknik lainnya. Tapi kalau tidak, apa yang terjadi?

Sebenarnya kalau kita mau berpikir dan bernalar kreatif, maka kita dapat menggunakan logika saja. Misalnya seperti ini......

Manusia punya 2 kaki

Seekor anjing punya 4 kaki

Satu pasang (manusia dan anjing peliharaan) totalnya 6 kaki. Karena terdapat 54 kaki berarti ada 9 pasang.

Jadi ada 9 ekor anjing peliharaan.

Selesai. tanpa ada rumus-rumus yang bikin ribet.

Jika kita mau menggunakan logika yang diwujudkandalam berpikir dan bernalar maka hampir semua permasalahan dapat kita selesaikan. Terutama permasalahan yang berkaitan dengan kehidupan sehari-hari. Bukan kah untuk menyelesaikan masalah yang dihadapi kita menyelesaikannya dengan logika dan berpikir, bukannya dengan rumus-rumus yang njelimet?

Bebaskan para siswa berpikir dan bernalar. Biarkan kedua komponen itu berkembang dengan baik dalam diri siswa. Karena keduanya diperlukan oleh siswa untuk menghadapi kehidupan.

*) teknik perhitungan memindahkan bilangan dalam perhitungan baik dari ruas kiri ke kanan atau sebaliknya adalah teknik yang tidak sesuai konsep matematika. Seperti perkalian silang sehingga bagi jadi kali. Atau pada penjumlahan, seperti yang tadinya positif jadi negatif.

TIDAK PERNAH ADA OPERASI 0/0 DALAM LIMIT

Kita mengetahui bahwa  memberikan hasil yang tidak terdefinisi. Tapi jika kita menyelesaikan persoalan limit, sepertinya kita melakukan operasi . Contohnya dalam kasus berikut:

Pada kasus di atas, untuk x -> 3, kita diperkenankan mencoret (x – 3) yang sepertinya memberi kesan diperbolehkannya . Benarkah demikian? 

***
Melalui cerita di bawah ini mudah-mudahan kita dapat memahami alasannya.

Anak-anak yang hidup di perkotaan biasanya sulit menemukan tanah lapang tempat bermain layangan. Oleh karena itu mereka biasanya menjadikan atap rumah sebagai tempat bermain layangan.

Pada saat aku masih berstatus siswa SMP, aku dan teman-temanku sering bermain layangan di atas sebuah rumah kosong. Rumah kosong tersebut sudah tua dan banyak kerusakan karena lama ditinggalkan dan tidak dirawat oleh pemiliknya. Kerusakan itu tidak hanya pada bagian dalam tetapi juga pada atapnya. Ada sebuah lubang yang cukup besar dan jika tidak berhati-hati maka kami akan jatuh terperosok ke dalam. Maklum, besarnya diameter lubang melebihi dua kali besarnya diameter tubuh kami.

Suatu hari pamanku ikut bermain di atap rumah kosong tersebut. Saat asyik bermain, tiba-tiba pamanku memberikan sebuah sayembara. Hadiahnya juga tidak tanggung-tanggung dan cukup wah bagi kami yang saat itu ada tiga orang. Mau tahu? Sebuah coklat silverqueen yang gede.

”Kalian mau coklat ini?” pamanku berbicara sambil menunjukkan sebuah coklat silverqueen yang gede dan masih terbungkus rapi dalam kemasannya.

Sambil meneguk liur tanda ngiler kami serempak menjawab, ”mau”.

”Tapi ada syaratnya” terang paman sambil menyembunyikan coklatnya.

”Apa syaratnya?” tanyaku sambil mengerenyitkan dahi.

Pamanku tak segera menjawab dan hanya tersenyum.

”Apa syaratnya pama....n?” salah satu temanku ikut mendesak paman. Terang saja kami terus mendesak karena takut kalau pamanku menarik keputusannya.

”Begini. Kalian lihat lubang besar itu” jawab paman sambil melemparkan pandangan ke lubang dan menunjuknya dengan bibir.

”mmmh. Ko mulut dijadikan penunjuk sih, bukannya jari telunjuk. Seperti ikan lohan jadinya” kataku dalam hati tapi tak berani ketawa. Takut tersinggung. Kedua temanku pun tersenyum tertahan.

Kemudian kami bersama memandang lubang yang dimaksud pamanku. 
”Kalau kalian dapat tepat berdiri di atas lubang itu dan tidak terjatuh ke dalamnya maka coklat ini akan aku berikan” lanjut pamanku.

”Begitu. Kami boleh bekerjasama kan?” tanya temanku

”Boleh” jawab pamanku sambil mengangguk.

Kami bertiga bergegas bergerak menuju lubang. Kami bekerjasama berusaha agar berdiri di atas lubang tapi tidak masuk ke dalam. Namun, dari arah manapun kami mendekati lubang tetap saja kami tidak bisa. Ya, yang dapat kami lakukan hanya mendekati lubang sekeras apapun kami bekerja sama. Entah itu saling berpegangan dan sebagainya. 

Yah. Seperti peribahasa bagai punguk merindukan bulan, kami pun tidak mendapatkan coklat itu. Hanya mampu berimajinasi saja.
***
Penggalan cerita di atas dapat kita ibaratkan dengan limit. Jika lubang diibaratkan sebagai 3, maka yang dikatakan x mendekati 3 (lambangnya x->3) adalah seperti anak-anak tersebut yang  bergerak mendekati lubang. Mereka hanya mampu mendekati lubang tanpa pernah dapat berdiri di atas lubang.

Jadi, yang dimaksud dengan x -> 3 adalah x hanya semakin mendekati 3 baik dari kiri maupun kanan tetapi tidak pernah mencapai 3. Artinya tidak akan pernah x = 3.

Oleh karena itu, jika x -> 3 (x hanya mendekati 3) maka (x – 3) tidak akan pernah sama dengan 0. Ini artinya melakukan operasi    diperbolehkan karena tidak sama dengan .

Nah, sekarang sudah tahu kan alasannya.

ALGORITMA BERBAHAYA BAGI PENALARAN SISWA

Fenomena maraknya kemunculan cara-cara cepat untuk menyelesaikan soal-soal matematika menimbulkan pro dan kontra di kalangan masyarakat. Pendapat yang kontra biasanya dari kalangan pendidik matematika yang memegang teguh akan pentingnya konsep. Mereka menyatakan bahwa sebenarnya cara cepat merupakan pembodohan bagi siswa. Dikatakan pembodohan karena cara cepat menghilangkan konsep-konsep matematika. Padahal konsep-konsep itu diperlukan oleh siswa untuk mempelajari materi matematika di jenjang selanjutnya.

Sedangkan yang pro terhadap cara cepat menyatakan bahwa kebanyakan siswa tidak memahami dengan baik matematika. Begitu banyak rumus yang perlu siswa hapal dan sulitnya bagi mereka memahami langkah-langkah penggunaannya. Kalau dibiarkan maka dapat dipastikan nilai ujian mereka rendah. 

Terlepas dari kedua pendapat di atas, kita menyadari bahwa konsep matematika itu penting namun pembelajarannya di sekolah saat ini lebih banyak menekankan pada rumus dan urutan langkah pengerjaan (algoritma). Siswa-siswa kebanyakan hanya diajarkan untuk mengingat rumus dan menggunakannya dalam urutan langkah-langkah yang harus diikuti. Mungkin kalau pembaca pernah mengenyam matematika di sekolah tentunya pernah mengalami dan merasakannya. Ingat rumus dan ingat langkah menggunakannya.

Seharusnya, mengajarkan matematika dengan algoritma tidak sepenuhnya diterapkan kepada siswa. Algoritma membahayakan bagi pengembangan pemikiran dan penalaran perhitungan seorang anak. Bahkan yang lebih parah lagi, algoritma akan terus mengekang seorang anak. Artinya anak tidak akan bisa lepas dari algoritma yang telah diajarkan.

Mungkin pembaca dapat merasakan pada dirinya sendiri. Setelah kita belajar matematika biasanya dilanjutkan mengerjakan soal. Untuk menyelesaikan soal, pasti kita berupaya mengikuti langkah-langkah yang telah diajarkan oleh guru. Benar gak? Kalau iya itu artinya nalar kita tidak jalan karena hanya mengikuti apa yang telah diajarkan. Kalaupun kita bernalar, pasti kita tidak bisa melepaskan diri dari langkah-langkah yang diberikan oleh guru. Akibat yang paling sering kita rasakan, kalau kita mengalami kebuntuan mengerjakan soal maka biasanya kebanyakan dari kita menyerah karena tidak tahu apa yang harus dilakukan. 

Tidak jalannya nalar kita juga tercermin saat lupa suatu rumus. Saat itu terjadi maka yang kita lakukan biasanya berusaha mengingat-ingat rumusnya, bukannya berusaha mencoba memikirkan dan bernalar bagaimana menyelesaikan soal. Sekali lagi, benar kan?. Disinilah letak bahayanya. Algoritma membelenggu penalaran seorang anak.

Pembelengguan penalaran inilah yang juga memunculkan pendapat kebanyakan orang bahwa sepertinya matematika itu lepas dari kehidupan. Pendapat ini terjadi karena kita sangat jarang menyelesaikan permasalahan dengan rumus atau harus dengan urutan langkah tertentu. Wajarkan pendapat seperti ini?

Oleh karena itu sudah sepantasnya paradigma pembelajaran matematika di sekolah diubah. Dari paradigma pembelajaran matematika yang menekankan hanya mengajarkan rumus dan langkah cara mengerjakan soal ke paradigma pembelajaran yang menekankan pada aspek penalaran siswa. Yaitu paradigma pembelajaran yang menghubungkan matematika dengan masalah-masalah kehidupan sehari-hari dan membebaskan siswa mengajukan penyelesaian masalah dengan caranya sendiri. Diharapkan dengan paradigma seperti ini maka siswa mampu menerapkan penalaran matematika dalam kehidupannya dan jika mengalami kelupaan pada saat mengerjakan soal maka nalarnya tetap jalan.

BENARKAH 1 = 2

Ada beberapa operasi di matematika yang melibatkan bilangan-bilangan tertentu memberikan hasil yang tidak dapat didefinisikan. Hal ini dilakukan agar tidak terjadi ketidak-konsistenan di dalam matematika. Coba perhatikan ini:

0 = 0

cukup jelas

(1) a^2 - a^2 = a^2 - a^2

bolehkan karena a^2 – a^2 = 0 (tanda ^ dibaca pangkat)

(2) a (a – a) = (a + a) (a – a)

ingat pemfaktoran dan identitas a^2 - b^2 = [a + b] [a – b]

(3) a = a + a

karena kedua ruas punya faktor (a – a) maka
dapat dicoret atau dihilangkan dari keduanya.

(4) a = 2a

(5) 1 = 2

karena kedua ruas punya faktor a
maka dicoret atau dihilangkan dari keduanya.

Nah, lho..... ko 1 = 2? Aneh kan. Terjadinya penyimpangan pada hasil dikarenakan pada langkah-langkah di atas terdapat operasi yang menyimpang. Apakah itu? Pada langkah ke berapa? Silahkan pembaca berusaha menemukannya sendiri terlebih dulu.

Kritik dan saran membangun dibutuhkan oleh penulis melalui komentar.

Terima kasih.
Salam.

Hati-hati Menerapkan Sifat Komutatif dalam Kehidupan

Pagi hari ini, aku dan temanku bersiap-siap pergi ke pasar. Setelah ku buka pintu di pagi hari, secara tiba-tiba menyeruak udara pagi yang berhembus sepoi-sepoi dan beraroma khas. Aroma yang menandakan udara segar.

Kami pun keluar bersama-sama untuk pergi ke pasar membeli sayur-sayuran dan ikan segar untuk dimasak. Maklum, kami berdua sama-sama anak kos. Semua harus dilakukan sendiri

***

Kembali dari pasar, aku ditugaskan untuk mencuci dan memotong sayur. Kebetulan sayur yang kami beli adalah sayur Sawi. Aku pun bergegas mengambil pisau untuk memotong-motong sayur.

Tanpa dicuci sayur-sayur tersebut langsung dipotong-potong. Aku tidak mencucinya terlebih dulu karena ku pikir dapat dilakukan kemudian. Toh, dicuci dulu baru dipotong atau dipotong dulu baru dicuci kan sama saja hasilnya. Sama-sama bersih. Komutatif gitu lho.

Ketika hampir setengah pekerjaanku rampung, tiba-tiba temanku menegur.

”Kok, sayurnya tidak dicuci dulu?”

”Nanti pak, setelah dipotong. Toh sama saja. Sama-sama bersih. Komutatif kan”

Sambil mengkerutkan dahinya, ”Komutatif? Ya betul komutatif. Tapi makna bersihnya berbeda”

”Maksudnya????”, sekarang gantian dahiku yang berkerut.

”Begini. Kita membersihkan sayur dengan air adalah untuk menghilangkan pestisidanya kan?”

”Iya”, jawabku sambil mengangguk.

”Nah, kalau kita potong dulu baru dicuci, maka ada kemungkinan air tersebut membawa pestisida masuk ke pori-pori sayur yang telah terbuka. Sedangkan kalau dicuci dulu, maka air yang membawa pestisida tidak dapat masuk ke pori-pori sayur karena belum terbuka. Jadi, aman untuk dimakan. Paham?”

”O..... begitu ya” aku mengangguk tanda mengerti. ”Jadi, walaupun kedua proses sama-sama menghasilkan sayur yang terlihat bersih dipermukaan tetapi sebenarnya memiliki makna bersih yang berbeda”........

***

Penggalan cerita di atas hanya menunjukkan bahwa suatu urutan proses pekerjaan, yang walaupun boleh dibolak-balik dan diperoleh hasil yang sama, belum tentu maknanya berbeda. Begitu pula dalam matematika, yang terkait dengan sifat komutatif.

Seperti kita ketahui, sifat komutatif berlaku dalam perkalian. Artinya, dua bilangan yang kita kalikan, walaupun kita tukarkan tempatnya maka akan tetap menghasilkan bilangan yang sama. Contohnya,

5 x 3 = 3 x 5 = 15

2 x 8 = 8 x 2 = 16

3 x 1 = 1 x 3 = 3

Walaupun hasilnya sama, tapi sebenarnya memberikan makna yang berbeda. Mengapa begitu?

Coba kita terapkan sifat ini pada kenyataan dalam kehidupan. Contohnya meminum obat sesuai resep dokter. Jika kita pernah mengalaminya, tentunya tahu arti dari perintah dokter seperti ini:

”Tolong, minum pil ini 3 x 1 sehari”

Perintah di atas artinya meminum obat tersebut harus 1 buah tiap waktunya, boleh 1 pil di pagi hari, 1 pil di siang hari, dan 1 pil di malam hari. Jadi, dalam satu hari 3 pil yang diminum.

Berdasarkan peristiwa di atas, apakah boleh diterapkan sifat komutatif? Yaitu 1 x 3 sehari. Jadi langsung 3 pil yang diminum. Toh hasilnya sama, sama-sama 3 pil dalam sehari. Tapi hasilnya bagaimana, pasti MATI karena OVERDOSIS.

Cerita di atas menunjukkan walaupun sifat komutatif memberikan hasil yang sama tetapi perlu diketahui bahwa maknanya atau prosesnya tetap berbeda. Kita tidak boleh menerapkan secara sembarangan sifat komutatif ini.

Ingat, hasil yang sama belum tentu memberikan makna yang sama.